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Solution

眾所周知， n$n$ 個節點，兩兩不同構的二叉樹的數量為 Catalan(n)$Catalan(n)$ 。
其中 Catalan(n)$Catalan(n)$ 為卡特蘭數，即 Cn2n−Cn−12n=Cn2nn+1$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$ 。
我們還需要求出： fn$f_n$ 表示 n$n$ 個節點，兩兩不同構的二叉樹的葉子節點數之和。
通過找規律，得到結論：

fn=n×Catalan(n−1)$$f_n=n\times Catalan(n-1)$$
證明：一棵 n$n$ 個節點的二叉樹，刪掉一個葉子就能得到一棵 n−1$n-1$ 個節點的二叉樹。而一棵 n−1$n-1$ 個節點的二叉樹，有

n$n$ 個可插入葉子的位置，插入後能得到一棵 n$n$ 個葉子節點的二叉樹，故一棵 n$n$ 個節點的二叉樹中選一個葉子節點，與一棵 n−1$n-1$ 個節點的二叉樹中選一個空位置一一對應。得證。
下面來推期望。
顯然答案為 fnCatalan(n)$\frac{f_n}{Catalan(n)}$ 。
fnCatalan(n)=n×(Catalan(n−1))Catalan(n)$$\frac{f_n}{Catalan(n)}=\frac{n\times (Catalan(n-1))}{Catalan(n)}$$
=n×Cn−12(n−1)nCn2nn+1$$=\frac{n\times \frac{C_{2(n-1)}^{n-1}}{n}}{\frac{C_{2n}^n}{n+1}}$$
=(2(n−1))!((n−1)!)2(2n)!(n!)2×(n+1)$$=\frac{\frac{(2(n}{}}{}$$

−1))!((n−1)!)2(2n)!(n!)2×(n+1)
=1(2n−1)×2nn2×(n+1)$$=\frac{1}{\frac{(2n-1)\times 2n}{n^2\times (n+1)}}$$
=n2×(n+1)(2n−1)×2n=n×(n+1)2×(2n−1)$$=\frac{n^2\times (n+1)}{(2n-1)\times 2n}=\frac{n\times (n+1)}{2\times (2n-1)}$$

Code

只有輸入一行輸出一行，可見此題很水

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using
 
 namespace std;
int n;
int main() {
    cin >> n;
    
            
  
           

              
              
            
            
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[BZOJ4001][TJOI2015]概率論（卡特蘭數+找規律）
     
 
							
							
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Solution

眾所周知， nn 個節點，兩兩不同構的二叉樹的數量為 Catalan(n)Catalan(n) 。 
其中 Catalan(n)Catalan(n) 為卡特蘭數，即 Cn2n−Cn−12n=Cn2nn+1C2nn−C 

  
 

    

    
    
【BZOJ4001】[TJOI2015] 概率論（卡特蘭數）
     
 點此看題面 
大致題意： 問你一棵\(n\)個節點的有根二叉樹葉節點的期望個數。 
 
大致思路 
看到期望，比較顯然可以想到設\(num_i\)為\(i\)個節點的二叉樹個數，\(tot_i\)為所有\(i\)個節點的二叉樹的葉節點總數。 
則答案顯然為\(\frac{tot_i}{num_i}\)。 
而 

  
 

    

    
    
HDU 1134 Game of Connections（卡特蘭數）
     
 cut   res   ras   sam   eof   cpp   ont   des   tel   題目代號：HDU 1134
題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1134
Game of Connections
Time Limit: 200 

  
 

    

    
    
N個節點的二叉樹有多少種形態（卡特蘭數）
     
 面試   誤區   樹的定義   節點   類型   基礎   更多   大於等於   證明   這是一道阿裏的面試題。其實算不上新鮮，但是我之前沒關註過，如今碰到了，就順便探討下這個問題吧：）
拿到這個題，首先想到的是直接寫出表達式肯定不行，所以有必要從遞推入手。由特殊到一般，歸納法麽~而且二叉樹離不開遞推 

  
 

    

    
    
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 51nod 1120 機器人走方格 V3 
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 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
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給定n個數，有多少種出棧序列，進棧是按照順序進棧？

分析：當n為1時： 
  f(1) = 1     //即 1 
  當n為2時： 
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HDU1023——Train Problem II（卡特蘭數）
     
 =======================================================================卡特蘭數卡特蘭數又稱卡塔蘭數，是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。
卡特蘭公式的應用很廣 

  
 

    

    
    
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Catalan數（卡特蘭數）
     
 
                
公式：
n <= 2 時， f(n) = n;
n > 2時， f(n) = (4n - 2) / (n+1) * f(n-1)

1-100的卡特蘭數列表如下：
n             f(n)

1       1
2       2
3       5 

  
 

    

    
    
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1485: [HNOI2009]有趣的數列
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[ACM] hdu 2067 小兔的棋盤（卡特蘭數Catalan）
     
 
                
小兔的棋盤
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[TJOI2015]概率論[卡特蘭數]
     
 ace   inline   cpp   name   化簡   namespace   urn   pre   n-2   題意
\(n\) 個節點二叉樹的葉子節點的期望個數。
\(n\leq 10^9\) .
分析

實際詢問可以轉化為 \(n\) 個點的不同形態的二叉樹的葉子節點總數。
定義 \(f_n 

  
 

    

    
    
【專題】計數問題（排列組合，容斥原理，卡特蘭數）
     
 spl   狀態   ans   補集   方便   常用   括號   inf   不存在   ---下面都是學習的筆記，還沒有整理，比較淩亂，有需自取吧。---
【排列組合】
<加法原理>做一件事情有n個方法，第i個方法有pi種方案，則一共有p1+p2+...+pn種方案。
<乘法原理& 

  
 

    

    
    
【算法專題】卡特蘭數（計數數列）
     
 n-1   映射   點分治   blog   -s   方法   .org   div   n-k   Catalan數列：1 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796
【計數映射思想】
參考：卡特蘭數 — 計數的映射方法的偉大勝利
計數映射：將難以統計的數映射為另一種形式 

  
 

    

    
    
【HDU - 1134 】Game of Connections（JAVA大數加法，卡特蘭數）
     
  
 
 
 題幹： 
 This is a small but ancient game. You are supposed to write down the numbers 1, 2, 3, ... , 2n - 1, 2n consecutively in clockwise order on the