科研這種事情，就和一個人到海里面游泳一樣。遊著遊著，猛一回頭，就只有自己一個人在游泳，而且已經看不到岸了，只能夠一個人努力往前遊。做科研難題的時候，只有自己能夠幫助自己，只能夠一個人竭盡全力地往前走。

本來是打算交了博士論文之後才開始寫這篇文章，但是之前讀過網上別的博士寫的一些書籍和資料，自己也一直不停的在寫blog，所以感覺這篇文章已經基本成熟，再加上最近科研毫無進展，故寫一篇文章來紀念一下自己的博士生涯。

可能很多選擇本科讀數學的人都有這種經歷，在高中的時候就有一種所謂的偏科，會把大量的時間花在數學物理上面，而且參加各種競賽也能夠順利拿獎，對於語文英語就是得過且過。拿競賽獎狀之後，要麼就開始保送各個高校的數學系，要麼就開始準備高考。

高考完了之後面臨著選專業的問題，對於一個高中生來說，怎麼可能知道大學裡面的專業是學什麼，幾乎就是瞎選，高中擅長學什麼就開始選擇什麼。

剛進入大學的時候，身邊的人要麼是競賽保送的，要麼就是高考高分考進來的。在第一年的時候，基本上就開始分成兩類人在走。一種是天天努力學習的，一種是幾乎不學習的，就靠考試前突擊過日子。

也不知道是不是高中生活的延續，在第一年的時候非常認真，在數學分析和高等代數上面花費了大量的時間，也做了不少的數學習題。在C++之類的重要課程上面繼續不花時間，繼續著自己高中的偏科日子。

這件事說來也巧，正好在大一的數學分析習題課上認識了張老師。有一次碰巧遇到張老師，他給我說打算下個學期辦一個討論班，講一下他最近關注的一些書籍和論文，並且說這些書籍只需要大一上學期的內容就可以了。當時聽上去很有吸引力，就滿口答應下學期開始著手這件事情。

到了第二個學期，討論班果然開始了，再加上廖老師，當時也湊了幾個努力學習的同學，就開始讀張老師想讀的那本書“One Dimensional Dynamics”。

第二個學期的時候，基本上都是張老師在講，堅持了一個學期，終於把那本書的第一章差不多講完了。其實當時自己也就是在下面聽，但是什麼都沒聽懂，聽來聽去就感覺在用Lagrange中值定理，確實只用了大一數學分析的內容。說實話，堅持讀一本書是非常困難的，尤其是一邊還要寫論文，還要教學。

到了本科第二年的時候，張老師就問我們幾個學生，有沒有興趣自己試著講，當時可能也是想挑戰自己一下，就自告奮勇上去講了一次，雖然自己也只有大一的知識儲備量，但是讀那本書，一行一行看其實只要花時間還是沒問題的。在下面自己花了很多時間，準備了一次，因為都是涉及一些基本的計算，最多涉及到級數求和，所以第一次試講就非常成功。

這樣就在無形中極大的激勵了自己，堅持這個討論班堅持了兩年。後來到了第三年結束的時候，正好有一個研究生的暑期學校，在尤老師的大力幫助下，推薦我跟著那些研究生一起學習，聽一些講座。就在當時的暑期學校上面認識了現在的老闆。

NUS的第一個學期就收到一篇90頁的論文，不過論文裡面有個巨大的漏洞，希望自己能夠找出來並且把它補上。第一個學期選擇了太多的課程，分析，代數，拓撲，PDE，導致自己也沒啥時間弄這篇論文。

第一個學期的唯一收穫就是把博士生資格考試順利通過了。到了第二個學期，開始讀論文了，雖然自己之前也讀過論文和相應的書籍，但是給PHD的課題怎麼可能那麼容易就完成。

如果那個漏洞那麼容易就補上了，怎麼可能十幾年沒人做那個問題。查一下網上的資料，2006年有人做出了類似的一個問題，不僅順利發了Annalsof Mathematics，還給了國際數學家大會45分鐘的報告。相比之下，可想而知自己的這個博士課題有多難。

在這個時候自己也沒多想，也沒想過換一個容易一點的問題，總想著自己一定能夠做出來，然後當時辦公室位置緊張，沒分到辦公室座位，於是自己天天都去圖書館呆著，就帶著自己的這篇論文，在圖書館裡面一頁一頁的看。

後來到了第三個學期，就要開始博士資格考試的口試了，需要做一個關於自己的研究方向的一個報告，然後系裡面會讓一些老師來給博士生打分，不行的話就要重新再來一次。

在閱讀一開始的那篇90頁的論文的時候發現需要另外一篇文章作為基礎，於是博士資格考試的內容就以另一篇文章作為主要的框架。這個時候我又再次查一下這篇新的文章，同樣是發在Annalsof Mathematics上面，而且自從1996年之後，關於這個課題也是幾乎沒有新的結果出現。

這個時候開始覺得壓力很大了，就去找老闆，老闆說：課題不能輕易換，你要堅持做。不過這次的資格考試還算順利，口試一次通過。但是過了之後並不是輕鬆的開始，反而帶來了更大的問題。如果博士資格考試不通過的話還可以拿一個碩士學位走人，但是通過了考試就沒有選擇了，只能爭取博士畢業。

苦海無涯，回頭已經看不到岸了，只能夠竭盡全力地游到對岸。游到對岸就意味著自己需要把論文的課題搞定，需要把一個非常難的問題攻克。於是這個時候就產生了巨大的心理壓力，非常痛苦的過了一年。

2013年4月份的時候，一件事情直接把自己從痛苦中敲醒，那就是年過半百的張益唐在孿生素數領域做出了巨大的貢獻，並且向Annalsof Mathematics投稿，三週後被編輯確認無誤並且接收。他的生平經歷對年輕人來說是一個非常大的鼓勵，至今記得他在youtube上面接受採訪的時候與記者的對話。“唐詩宋詞？我就說兩句，不想說它的出處。庾信平生最蕭瑟，暮年詩賦動江關”。

看過他的生平事蹟都清楚他為什麼喜歡這兩句詩，因為這兩句詩正是他一生的寫照。做數學研究的人都知道，過了45歲幾乎就不太可能有什麼特別大的突破了，45歲以後的體力和精力和20多歲的時候相比都嚴重下降，很少有人在接近60歲的時候能夠完成華麗的逆轉，但是張益唐做到了，用自己的實際行動完成了質的飛越。回到自己，在PHD的期間確實走了不少的彎路，領略了很多艱辛和苦澀。正是張益唐成功的事蹟激勵了自己，只要努力就能夠讓自己順利畢業。

再次回到自己的科研上。痛定思痛，決定努力一下重新攻克之前的問題，此時已經是PHD的第三年都快結束了，自己還沒有任何結果，辦公室的哥們都已經三四篇文章了，師門的師兄們也已經有了自己的paper，而且老闆明確表態，畢業的標準就是把自己的論文發表在Ergodic Theory and Dynamical Systems這個雜誌上。

對於當時沒有任何結果的自己，壓力山大。於是，為了讓自己能夠順利畢業，就逐漸開始奮發圖強，再次從那篇錯誤的文章入手，重新從別的角度來審視那篇文章，看看能夠從哪些地方尋求突破。在那篇文章裡面，作者著重於研究一個叫做Fibonacci的多項式，在和老闆的交流中，發覺可以把Fibonacci多項式做出推廣，以尋求新的結果。

終於，在PGP宿舍獨立工作一個月之後，搞出了自己畢業論文的第一步，也就是Real Bound Theorem。當時總算感覺放鬆了一下，可是告訴了老闆這個結果之後，悲劇再次發生。被老闆告知有兩個人已經差不多寫好了一個的結果（後來我知道他們發表在了Nonlinearity這個雜誌上），這就意味著自己不可能憑藉這個結果拿到博士學位，需要把原來的問題攻克才能畢業。這個時候PHD的第三年已經結束。

到了第四年，需要輪到自己真正攻克問題了，這個時候必須要做出來才能畢業，沒有任何選擇的餘地，正所謂“置之死地而後生”。導師給的論文課題是關於實係數多項式的迭代，這裡c是實數，是偶數。在這個問題下，沒有任何額外的條件，這和那些每次科研遇到障礙就開始加條件的方向截然不同。

做科研好比一支部隊在打仗，不同的人就有不同的風格。有的人就喜歡在一個鬼都打不到的地方亂放槍，把別人的論文改改條件就變成自己的文章，甚至連自己的條件是不是相互矛盾都不知道。但是有的人立志就是要做難題，這個時候就好比這支部隊接到的任務是攻下山頭，首先就必須打掉山頭上面的碉堡，就需要集中所有的人力和火力來攻取，就必須集中自己的注意力，排除其他所有障礙物。

當時為了集中注意力，在第四年的時候自己每天晚上都在系大樓的四樓教室裡面呆著，因為安靜並且沒有人來打擾，特別適合思考問題。除了每天晚上到四樓獨立思考問題，每週還要和老闆討論問題，不停的看看有沒有新的辦法來做原來的問題。單調的生活就這樣持續了PHD的第四年。

到了PHD的第四年快結束的時候，終於找到方法來突破原來的問題，至少看起來成功的希望非常大。不過悲劇再次發生，用這個方法來研究問題有一定的侷限性，是不夠完美的，心情再次從大喜到大悲，感覺離畢業又再次遠了一步。不過這個時候要是放棄了就前功盡棄了，必須努力向前，作為一個第四年的PHD已經沒有時間用來彷徨了。經過兩週的不懈努力，終於做出來了，這個時候感覺離學位再次進了一大步。

漫長的故事講完了，這個時候希望那些覺得自己在數學方面很有天分或者覺得對數學很有興趣的本科生們長一個心眼，學數學考高分離真正的科研還差得遠。一個嶄新的科研題目在所有的PHD面前都是人人平等的，都是未知的領域，需要PHD花很多的時間去研究和探索。下面列舉的是一個博士生做數學科研需要注意的一些基本事項，當然我也只能夠在自己的領域裡面說說，別的專業的博士其實和數學還是差挺多的，可以作為參考。

(i)極強的心理素質：之前高中，本科遇到的練習題，努力一下，和同學討論一下，說不定都能夠搞出來，花上幾個小時，幾天，甚至幾周，基本上就能夠搞定。但是對於一個博士生來說，沒有任何課題是在幾天，幾周，甚至幾個月之內就能夠搞定的。以前在高中和本科的時候都能夠不停地做出數學難題，於是就能夠給人帶來快感，讓人越來越有動力，越來越想研究數學。

但是在讀博士的過程中，這種感覺肯定會煙消雲散。取而代之的是長期做不出來問題，讀論文帶來的痛苦，思考問題帶來的絕望。無論一個學生的本科成績多麼的優秀，在有科研經驗的老師面前，真的是不算什麼。被老闆bs很正常，科研成功一次就可以畢業了，甚至就能夠功成名就了（參見張益唐）。

在這個非常漫長的四年，五年，甚至六七年的歲月裡，一個學生要是沒有這點心理素質就不要混下去了。正如圖片所示：讀博士之前一直以為讀博士努力下去就會一帆風順，按時到達。結果實際的情況確是第二種，道路崎嶇不平，各種意想不到的艱難困苦，只有克服了這些困難，才能夠在PHD這條路上走下去。

(ii)從開始PHD的那一刻開始，就必須忘記之前自己取得的所有成績，一切從零開始。以前很輕鬆的寫一下本科畢業論文就可以獲得優秀，能夠講討論班，甚至足夠在所謂的SCI雜誌上發表，這些只能夠說明在本科生當中屬於佼佼者。但是開始讀博士之後，這些就變得不算什麼了。

好比你一開始住在五層小樓裡面，身邊都是平房，自然顯得很強。但是後來隨著自己的成長，座標系也就悄悄的發生了變化，身邊的人也跟著變化，對手已經不是本科生，而是從本科生中間選出來的優秀者，難度顯而易見的增加了許多。

(iii)對於一個普通的博士生來說，自己想獨立搞科研幾乎是不可能的，想脫離老闆而獨立搞科研完全是自尋死路。一開始讀博士的時候由於本科的習慣，總自以為自己的想法很牛逼，很可能做出大東西，後來發現這是根本不可能的。作為老闆，在科研領域已經打拼了十幾年，在經驗和能力上面通常都在博士生之上。

通常一個博士生自己提出一個東西，要麼是別人做過了，要麼是根本沒有什麼意思，沒有人在乎。如果讓博士生自己選擇論文課題，要麼選擇得太難，根本不可能完成，要麼就是別人已經做過了，根本沒有繼續研究的必要。對普通的博士生來說，奉勸大家，基礎不夠就老老實實從底層做起，從老闆推薦的論文和書籍一點一點的慢慢開始，千萬不要想自己去選擇一些論文課題來做。

往往一個領域有著自己非常難的問題，通常這些問題是不能夠直接留給博士生來做的。這個時候不能夠從正面去攻取這些題目，需要有一定程度的迂迴，而這些迂迴往往依賴於導師在本領域摸爬滾打多年的經驗。

此時導師給學生推薦的書和論文會從側面幫助學生理解問題，研究問題甚至解決問題提供非常大的幫助。在這個過程中，導師很可能根據學生的科研進度提出階段性的題目，以降低學生科研的難度。通常來講，老闆提出的問題和想法，博士生有的時候哪怕只是取得了部分的結果和進展，都會遠遠高過自己獨立選擇的題目。

(iv)在博士的生涯中，曾經見過有的老闆會幫助學生寫論文，甚至送論文給學生，但是並不是所有的老闆都會做這些事情。博士生自己做不出來問題，很多老闆通常是不會給予非常直接的幫助的，這個時候就需要博士生自己想辦法來解決問題，克服障礙。在學校裡面，通常的觀點是：寫不出論文是學生的問題，不是老闆的問題。

對於一個數學系的博士生來說，即使你的論文想法已經非常成熟，細節全部都能夠過去，要把它寫成一篇能夠發表的論文也是一條非常艱難的路，而且這條路也很不好走。

之前本科的時候，一般的關注點都是學生學了多少東西，懂得多少東西。到了博士階段，已經沒有人在乎學過多少東西，在乎的是做出了什麼結果，能夠發表什麼樣的文章。要發好的雜誌，就需要一個好題目，這個問題通常都是難題。在這些問題前面，每個人都是平等的，都是一個一個獨立的靈魂在奮鬥。

此時此刻就需要博士生自己克服很大的心理障礙，想畢業就要一直堅持做自己的課題，堅持下去才能夠知道自己能不能夠成功，才能夠知道自己究竟能夠走多遠。在這個過程中，根本不敢去想能夠走到哪一步，只能夠咬緊牙關堅持走下去。

科研這種只有一個人在走的路十分考驗一個人的忍耐力和承受力。跟別的事情不一樣，比方考試什麼的，都是大家一起混，怎麼混一般都不至於混到最後。但是科研這種事情，就和一個人到海里面游泳一樣。遊著遊著，猛一回頭，尼瑪就只有自己一個人在游泳，而且已經看不到岸了，只能夠一個人努力往前遊。做科研難題的時候，只有自己能夠幫助自己，只能夠一個人竭盡全力地往前走。

(v)對於數學系的人來說，由於不需要像別的專業一樣做實驗，所以時間非常自由，除了幹一些教學工作，剩下的時間都是自由安排。這種自由職業者如果時間安排不當，很容易產生拖延症，陷入PHD的時間陷阱而不能自拔。對於搞純數學的PHD來說，一個PHD的課題絕對不是在幾個月之內就可以完成的，一定會有一段時間沒有任何的進展和突破。

這個時候由於要克服自己的心理壓力，很容易在自己的科研課題上面產生拖延症，好比牛頓第一定理，在沒有外力的催動下，自己的課題一定會停滯不前，能畢業日期也就離自己越來越遙遠。如果出現這種問題，需要及時克服自己的心理障礙，戰勝拖延，免得造成更大的困擾。

最後一條，如果一個人在本科或者碩士畢業的時候在工作和讀博之間搖擺不定的話，這個時候選擇工作基本上是正確的。如果本科或者碩士論文都寫得要死要活的學生，是非常不適合繼續讀下去的。哪怕博士生涯剛剛開始，這個時候立刻逃離也是非常明智的決定。做科研的時候需要把它當成一份事業，而不是當成一份工作。世界上有很多的工作可以做，為什麼選擇一條那麼艱難的路來走呢。

其實，要做一番事業，無論是任何領域的，都需要一個人不計回報的付出，不能夠像幹工作的時候那樣計較加班費和休息時間。只要一個人在做的是自己的事業而不只是工作，無論這份事業本身能夠帶來多少的收入，無論在別人的眼光裡面這怎麼也算不上一個成功者的案例，在堅持做這個事業的過程中，就已經成功了。看著張益唐的視訊，想想也覺得“庾信生最蕭瑟，暮年詩賦動江關”一件非常幸福的事情。

來源：數學與人工智慧

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