請問各位大蝦，像4QAM，16QAM，32QAM，64QAM調製每符號平均能量怎麼求解？我看別人程式時，16QAM得每符號平均能為10，不知道怎麼求出來的。我想知道對於這些調製方式,怎麼加噪的,我看一段程式如下:

      Eav=10*d^2; % energy per symbol

      snr=10^(SNRindB(p)/10); % SNR per bit (given)

      sgma=sqrt(Eav/(8*snr)); % noise variance

它是16QAM調製算噪聲均方差的，不知道這幾句什麼意思，哪位大俠幫忙解釋解釋。

A1：一般認為各符號等概出現。其實沒有什麼意義，關鍵是與噪聲功率譜密度的比值。

A2：欲求符號的平均能量，只要把各個符號的能量都加起來，再除以符號的個數即可(假設每個符號的使用概率相同)。以 16QAM 為例。其星座圖中每個象限各有四點，所以只算任何一個象限 (如第一象限) 中的四點即可。假設點和點之間的最小距離為 d, 那麼，這四點的座標為 (d/2, d/2), (d/2, 3d/2), (3d/2, d/2) 和 (3d/2, 3d/2)。於是，第二、三點的能量各是 (d/2)^2+(3d/2)^2，其他兩點的你一定會照此類推。把四點的能量都加起來，等於 10*d^2。再除以 4，就得到平均值 2.5*d^2。為了方便，常常設 d=2。這時，平均值就等於 10。

2、IFFT覆信號處理

      我想請問一下大家，我在模擬中QAM對映後的訊號（64個複數）經IFFT後生成了64個複數。按照書上說的在這時，訊號已經調製到了64個子載波上。我想問一下這64個複數是怎麼調製到64個子載波上的呢？我理解的是這樣的，不知道對不對，就是生成的64個複數，在D/A轉換時，每隔0.05us分別與一個矩形脈衝相乘並調製到一個子載波上，這樣調製64個複數剛好要3.2us與一個OFDM的符號時間相同。最後生成的OFDM符號再調製到主載波上。是這樣的嗎？

A1：就是這樣的（這句話不對）

ifft出來的64個複數就是一個OFDM符號的64個取樣點。

A2：不對。你經過QAM MAP之後的64個複數是64個不同頻率子載波的幅度因子,分別相乘之後在時域疊加起來就是最後的OFDM輸出訊號(不考慮加CP等等)

AAA3：3樓的說的對，IFFT前的64個複數分別對應64個不同頻率的子載波，經過IFFT變換後變為這64個子載波迭加的時域訊號，因為傳輸的只能是時域訊號。D/A速率決定子載波間隔大小，並不是把它調製到64個子載波上。

3、覆信號的理解

     上課學了覆信號，就一直有個迷惑!一般的硬體電路都不支援複數運算，一般的方法是把實部，虛部分別方在不同的儲存區域，運算的時候分別按照實虛部運算！對此，我這樣理解，複數只是再學習過程中的一個概念，我們可以在做理論（比如在紙上推導公式）的時候使用，到了實際的應用（在硬體電路里程式設計實現我們前面推導的理論）必須把一個複數換成兩個實屬（），分別按照實數的運演算法則運算，只是要時刻記住那個結果是實部，那個是虛部？不知道這樣理解對嗎？還有個問題，那就是qam，正交調製我們用複數理解比較好，正交調製在實數域裡面到底是怎麼實現的？？？產生qam訊號時，I,Q訊號是正交的，還是兩個獨立的普通訊號！

AAA1：我覺得樓主開始對覆信號的理解還是很到位的。至於QAM，它的I 和Q訊號是隻正交的，因為我們把EXP訊號分解成SIN 和 COS訊號, 而SIN, COS 是正交的。 
如果你想理解QAM訊號，用星座圖來理解比較容易。星座圖當中橫座標跟縱座標是正交的，這個正交可以理解成90的角度偏移，——這就是角度調製。然後，QAM有不同的幅度，比如16QAM是從-3到+3，——這個就是幅度調製。這就是為什麼把QAM理解成角度加幅度調製的原因。

4、怎樣把覆信號從載波上移到低頻

比如我把一個覆信號 a+b*j與載波相乘，產生覆信號 s(t)=(a+j*b)*cos(2*pi*fc*t) fc=900M,那麼怎麼解調呢，如果用低通濾波器，在頻域求的話，只能取它的實部啊？有什麼辦法呢，哪位大俠知道啊

A1：覆信號有正交表示方法，有兩個分量，稱為同相分量和正交分量，在通訊中有較為詳細的闡述。在雷達訊號中，基帶覆信號又稱為（相干）視訊訊號，有相應的獲取方法，在原理上和通訊是相通的。解調的方法有很多，比如正交混頻低通濾波法，希爾伯特變換頻移法和奇偶分離符號變換法（其中包括希爾伯特變換法，各種插值法，多相濾波法）。相關資料可以查詢書籍和文獻。

A2：欲把基帶覆信號調製到高頻，需把覆信號的實部和虛部分別與高頻的 cos 和 sin 波形相乘，再把兩個乘積加起來，成為一個高頻的實訊號。只乘一個 cos 是不行的。在接收端，需要把高頻訊號與高頻的 cos 和 sin 波形相乘，得到兩路訊號，各自濾波後即得到基帶覆信號的實部和虛部。

A3：有一篇文獻《Complex signal processing is not complex》比較經典，在站上可以搜尋到下載看看，相信會對你有所幫助。裡面有個概念叫做覆信號流圖比較直觀形象，對應的實訊號流圖，對比可以知道兩者的區別。

調製和解調在覆信號層面理解僅僅就是乘以一個復諧波（載波或者中頻）成分，在實訊號層面理解就是交叉耦合相乘，詳見該篇論文。

A4：實際世界中沒有覆信號，所以你說的把一個覆信號去用一個單一的餘弦去調製是不可能的。只有一個完整的指數e(j*sita)才能用來表示複數，也就是兩個正交分量，相差為pi/2的餘弦波（或正弦波）。而我們分析時用覆信號去表示能簡化不少。

A5：從物理意義來看，覆信號就是幅度和相位都同時表達的訊號。解調時首先需要經過一個非線性變換或者時變網路（電路）變換，然後才用一個分離訊號的濾波器撿出。這個濾波器理想特性是對整個訊號頻譜而言1，有零衰耗。2，有常數群時延。對訊號以外的頻帶有無窮大的衰耗。

A6：modulated signal:      x(t)=Re{s(t)*e^(jwt)}=s_r(t)cos(wt)-s_i(t)sin(wt); 
       demodulated signal:   s_r(t)=x(t)*cos(wt)->LPF; s_i(t)=x(t)*sin(wt)->LPF.

A7：1、變到低頻乘一個正弦波，在濾掉頻率上移的那部分就行了。不過要當算仔細，當心正弦波負頻率部分產生混疊。

2、變到零中頻的話乘一個復指數訊號實際上是不成的，一般採用正交解調，分別乘兩個正交的正弦，得到基帶訊號的實部和虛部。以上內容通訊原理上有，你可以找原來上課的老師把學費要回來。

5、OFDM最後覆信號怎麼傳送

本人在做OFDM系統的模擬，遇到一個問題。在IFFT之後的得到的複數資料經過上變頻後還是複數，如何傳送這些複數呢？還有就是通道的模擬是怎樣的，是對複數進行操作還是其他？是不是在發端發實部，收端通過下變頻再低通可以恢復實部，虛部？我覺得如果是這樣，可能考慮的太簡單了。如果通道畸變太嚴重，資料可能恢復不了。請大家解惑，謝謝！

AAA1：按照OFDM一些文件的介紹，如果在IFFT之前，序列被共軛對稱之後，IFFT之後的序列就是實序列了，那麼只發送實部序列就可以了。（這樣很簡單）另外一種方法是IFFT之前，序列沒有經過共軛對稱處理，直接進行IFFT變換，這樣出來的就是復序列，要在I ,Q兩路載波上進行傳送。BTW ，論壇上以前有好多文件，可以參考！

指0。。。N-1。然後，把要傳送的數字訊號（-1，+1）對映到N個載波（即式子中的exp項，也即IFFT）上併疊加到一起，然後傳送。我舉個例子吧：比如有100M的頻寬，然後IFFT的大小是1024，這樣的話就是把100M的頻寬分成了1024小份，這個目的是為了讓頻寬減小，從而減小ISI。然後第一個載波的頻率就是100M/1024，第2個載波的頻率就是2*100M/1024，以此類推。這部分的作用是讓N個載波彼此正交，以消除載波間的干擾。

6、OFDM補零方法

小弟初學OFDM，發現在做IFFT時有兩種補零的方式。一種是在頭尾補，目的好像是說去除不希望產生的低頻分量。另一種方式是在中間補，好像是所謂的過取樣吧。

我覺得以上的兩個問題挺暈的，實際應用中到底是用的哪種方式呢？還有要補的時候補多少個呢？請高人指點！

AAA1：建議先看看有關數字訊號處理的書。

你說的兩種補零方法都是有的。在做FFT、IFFT的時候，最高頻點在中間，既是1/2的取樣頻率處，後半部分是負頻率關於取樣頻率的映象。所以說頭尾補是除去低頻分量，中間補即是所謂的過取樣。要補多少個點要不同情況不同分析了。

7、SNR實現

設訊號為S（t），噪聲為 n（t），用matlab如何實現經與IFFT後的SNR為10db呢？？

AAA1：你問的問題範圍有點大。對於後一問題，我覺得應該可以這樣算：設經過IFFT之後的是N點序列X(n)，對其進行各項平方求和在求平均，得出訊號功率Si，然後依據SNR求得噪聲功率Ni。由此生成均值為0，方差為Ni的正太隨機數：n（t）＝sqrt（Ni）×randn（1，N），可以作為噪聲。依據通道不同可以模擬不同分佈的隨機數，只要功率Ni已知。 根據帕斯瓦爾定理，訊號在在頻率域和時間域的能量相同，所以

IFFT和FFT後，訊號的功率不變。

8、關於QAM

1）一串二進位制序列經S/P轉換後，分I和Q支路，繼而經過upsample和root raised cosine濾波器實現D/A轉換。請問高手upsample的意義是什麼，是否是用來進行pulse shaping？ 
2）解調器端經LPF輸出的訊號，是否將該輸出訊號經過同樣的root raised cosine濾波器後取樣獲得？應該如何取樣才能獲得原輸入序列？

AAA1：1)對的 
2）也對，過了濾波器就會得到原來的序列，不過有濾波器延遲。

AAA2：QAM 至少是 4 進位制的，即每個符號 (symbol) 有 4 個選擇。M 進位制的 QAM 常寫為 M-QAM。16、64、及 256 進位制的 QAM 都是常見的。對於 M 進位制的 QAM， 進入 I 和 Q 的都是 sqrt(M)-進位制的實數序列，一個數對應於一個符號。也就是說，每個符號用一個(取樣)點表示。而僅用一個取樣點是沒法進行 pulse shaping 的。所以在送到 root raised cosine 濾波器之前必須增加樣點，即提高取樣率，用更多的點來表示每個符號。upsampling 就是提高取樣率的意思。upsampling 一般有兩種做法，一是在每兩個符號之間插入 (N-1) 個零，二是把每個符號重複 (N-1) 次。具體用哪種要看 root raised cosine 濾波器的實現方法。在接收端，除去載波後的訊號經過同樣的 root raised cosine 濾波器後取樣。這個取樣的結果是降低取樣率 (downsapling)，回到用一個點來表示一個符號。取樣的時刻是否正確非常重要。必須仔細地計算正確的取樣的時刻，或者有合適的時間同步電路。取樣後的 I 和 Q 序列再經過判決器作量化即可得到原輸入序列 (如果無差錯的話)。這裡假設的是理想的情況。實際上接收機與發射機的載波頻率可能有偏差。所以接收機中還要有頻率同步電路。收到的訊號可能有碼間干擾等失真，所以接收機中可能還要有均衡器。 等等。

AAA3：在每兩個符號之間插入 (N-1) 個零是比較實用的 upsampling 的做法。這樣一來每個符號就有 N 個樣點。將這樣處理後的數字序列通過用 FIR 實現的開方升餘弦 (root raised cosine) 濾波器就行了。用 FIR 實現開方升餘弦濾波器，就是要算出該濾波器的衝激響應，將衝激響應在取樣點上的數值用作 FIR 濾波器的係數。這個衝激響應用解析解，但是一般書上很少見到。不過 MATLAB 中已有現成的函式可以用，直接用即可。

AAA4：matlab中rcsofir中The transition band is (1-R)/(2*T) < |f| <(1+R)/(2*T).是為什麼？

AAA5：根據取樣定理，若要對一個模擬訊號取樣而又不失真，取樣頻率不得低於訊號頻寬的兩倍。實際中的取樣率往往高於訊號頻寬的兩倍。 oversampling 即指用高於訊號頻寬兩倍的取樣率進行取樣。當滾降係數 R=0 時，升餘弦濾波器的頻寬為 |f| < 1/(2*T)，傳遞函式在整個頻寬內是常數。而當滾降係數 R>0 時，升餘弦濾波器的頻寬加寬為 |f| <(1+R)/(2*T)。在這段範圍內，傳遞函式在 |f| <(1-R)/(2*T) 內是常數，而在 (1-R)/(2*T) < |f| <(1+R)/(2*T) 內是逐漸減小到零的，所以這一段範圍被稱為過渡帶。

9、OFDM中基帶訊號經過IFFT後,還是基帶訊號嗎?

請問各位,OFDM中基帶訊號經過IFFT後,還是基帶訊號嗎?我的理解是,在IFFT時,進行了子載波調製,所以IFFT後,應該是變成中頻訊號了啊,可我看到Timothy M. Schmidl的文章Robust Frequency and Timing Synchronization for OFDM的發射和接收模型中,在IFFT後還有中頻本振(IF LO)啊.難道OFDM中基帶訊號經過IFFT後,還是基帶訊號嗎?,請各位解釋下哈,謝謝

AAA1：嗯...經過IFFT後還是基帶訊號,接下來會有LO把它載到高頻去...

AAA2：只有IFFT後的訊號才是OFDM訊號，並且是基帶訊號，IFFT之前的訊號還不能稱之為OFDM訊號。IFFT可以理解為完成的是OFDM基帶調製，即使普通的訊號在基帶也要佔一定的基帶頻寬，OFDM基帶調製就是完成在這一基帶頻寬上的訊號處理，使之有一定的特性。而完成基帶調製後，其他的處理可以套用一些成熟的技術，例如：中頻和射頻處理。

AAA3：IFFT後是零中頻訊號，當然需要載波將其搬移到射頻。

10、成形濾波器的作用

AAA1:通過成型濾波器實際上是減少碼間干擾，減少帶外輻射，比如在傳送和接收方均採用根升餘弦濾波器，這樣，系統的帶外輻射是非常低的，具體可以參考通訊原理上的碼間干擾的分析及相應的處理。

11、QPSK應該是實訊號還是覆信號？

如果是實訊號（事實上書上在講理論的時候，QPSK調製訊號都是實訊號），那麼在OFDM中，按最原始的理論來講，OFDM調製後應該還是實訊號才對。因為OFDM不過是多個QPSK調製訊號的和（假設每個子載波都採用QPSK調製）。但是在Matlab模擬中，幾乎所有方法都是在QPSK調製過程中將已經調訊號為複數訊號（這是還是基帶訊號），然後再將這些複數進行IFFT。這樣 ，如果只取IFFT之後的實訊號，這個訊號應該是滿足前面的結論的。可是為何這樣處理呢？這樣理解對嗎？謝謝。

AAA1: 根據尤拉公式，f1(t)*cos(Wc*t)-f2(t)*sin(Wc*t)=Re((f1(t)+j*f2(t))*exp(j*Wc*t))這樣就為基帶調製中用複數表示實數訊號提供了依據。正交調製都可以表示成f1(t)*cos(Wc*t)-f2(t)*sin(Wc*t)的形式（Wc為載頻），因此只需要得到f1(t)+j*f2(t)，就可以獲得調製訊號。有些書上指的I/Q兩路訊號就是指的fi(t)和f2(t)，也就是其實部和虛部。個人理解，供參考。

AAA2: QPSK調製訊號由I Q 兩路組成，調製到正交載波上。樓主問的是另外一個問題（為什麼OFDM傳輸的時候用實訊號）。你可以參看OFDM中的訊號處理，通常在IFFT之前把要傳的訊號共軛摺疊擴充套件，然後做IFFT這樣得到的變換是實部（因為實有限序列的傅立葉變換是共軛對稱的復序列），這樣傳輸的時候把實序列調製到載波上傳輸就可以了。OFDM中的調製 ，包括傳輸符號的調製（QPSK 或QAM ），以及FM。

5、 為什麼OFDM系統IFFT之後只取實部

看了幾天的OFDM。舉個例子吧，32點的複數IFFT輸出也是32個複數；為了IFFT結果中只存在實部分量，必須要構造負頻率部分（和原輸入共軛對稱），所以就變成64點的IFFT了，結果輸出是64個實數。兩種方法的最終結果都是傳送64個數，只是後一種方式IFFT的點數變多了，不知道為什麼要這樣做？希望大家指點指點，謝謝！！！

AAA1: 2倍過取樣後可以從傳送的實部恢復出虛部來。具體的可以參考文獻"Data Transmission by Frequency-Division Multiplexing Using DFT",S.B.Weinstein,ect

AAA2: 有線的OFDM系統中可能有這種做法(實際上，在IFFT之前來了個共軛對稱。IFFT之後理論上是實訊號，相當於傳輸速率減半)。這是因為如果只有一根線，不利用相位資訊的時候，只能同時傳一路實數訊號(實部或者虛部)。當然你也可TDM的方式傳送實部和虛部，這樣傳輸速率也會減半。複數訊號有意義的，要利用相位資訊的時候就必須用。兩路實數訊號，如果利用它們之間的(相位)關係，這兩路實數訊號就應該合起來看作是複數訊號，而不應該看成兩個獨立的實數訊號。

AAA3: OFDM訊號可以是實的，也可以是復的。以樓主舉的例子，取32個複數，再拼接上它們的共軛對稱，這樣做 IFFT 以後就得到實的 OFDM 訊號。如果要產生複數的 OFDM, 則直接取64個複數做 IFFT。如果用基帶傳輸 (即不用載波調製)，那末只能傳輸實訊號，不可能傳覆信號。反之，如果作載波調製，那末因為可以同時使用正弦和餘弦載波，因此理論上可以傳覆信號。如果只用其中之一，頻帶的利用率當然沒有達到最大，不過可以降低對接收機中載波同步的要求，不必擔心兩路訊號之間的干擾。

AAA4: 做 IFFT 時，實際上第一個數 (一定是實數) 定義 DC 成份，第 (N/2+1) 個複數定義最高頻率成分，最後面的 (N/2-1) 個複數定義負頻率成分。所以，IFFT 後的訊號的頻帶是 (-fm, fm)。然後，如果用基帶傳輸，只能傳實部，訊號的頻寬是 fm；如果用通帶 (即用 RF 載波) 傳，還可以多傳一個復部，但是訊號的頻寬是 2*fm，所以頻帶的效率是一樣的。那篇文章只討論基帶傳輸，所以只能傳輸實部。如果你想再傳一個復部，那麼你必須用通帶來傳送，結果訊號頻寬就會增加一倍

AAA5:現在系統描述如下，假如我係統原本就用N點的IFFT，N點皆為訊號點，那根據上面那篇論文，我只需要傳送N點IFFT後的實數部分即可藉由在接收端過取樣一倍之後，加上2N點FFT即可回覆出原來的N點訊號（當然，這需要從2N中選出N點）。上述經過我初步的模擬是成立的。現在的問題是：原來的OFDM應該是同時會有兩個載波Sin and Cos，一個用來載基頻的實數部分，一個用來載基頻的複數部分。因為上述的過程成立，所以我現在只需要利用一個載波傳送實數訊號即可。所以Sin等於沒有使用～那假如將下一個時間點的實數訊號放到這個時間點的這個Sin載波，那這樣不就等於把Data Rate提高了一倍嗎？

AAA6: 從資訊理論 (information theory) 的觀點來看，無論用基帶還是通帶傳輸，所能達到的頻率效率都是一樣的。用通帶傳輸時，頻寬比基帶傳輸多一倍。如果只用 cosine 傳輸實部訊號，那麼頻帶效率就只有基帶傳輸的一半，意味著浪費。如果即用 cosine，又用 sine，則頻帶效率比只用 cosine 提高一倍，但也只是達到與基帶傳輸相同的頻帶效率。這不僅適用於 OFDM，也適合於其它系統。

AAA7: 嗯...我瞭解您所想表達的～

但是你後面那句話，如果～

基帶傳輸只傳輸了實部訊號，帶通傳輸傳送了實部訊號和虛部訊號，頻寬效率一樣。但是上面有一件事情，就是都是傳送來自於同一個IFFT後的訊號。假如今天在帶通只是為了頻寬效益而多傳了虛部訊號，那虛部訊號何不以下一個時間的實部訊號取代呢？雖然說頻寬效率降為一半，但是傳送速率卻多出一倍不是嗎？

AAA8: passband傳輸一般是雙邊帶的，所以比baseband（單邊帶）傳輸頻寬大一倍，傳輸效率當然也低一半。如果採用單邊帶（SSB）的passband傳輸，則傳輸效率和基帶一致。雙邊帶傳輸時，中心頻率兩邊的兩個邊帶所傳輸的資訊是完全一致的（互為鏡象分量），接收機在下變頻處理時，將這兩個邊帶中的任何一個邊帶轉換到基帶處理都是可以獲得全部資訊的。但是，所謂用cos傳一半資料、sin傳另一半資料是不對的。因此也不存在，用另一個邊帶傳一半資料的說法。只可能是用單邊帶傳輸技術，原來兩個邊帶的頻寬中的兩個單邊帶分別傳不同的資料，但這兩個邊帶也變得沒有什麼關係了，而是兩個獨立的邊帶。

AAA9: 如果你複習一下付氏變換的性質，你就知道，只有實數函式的變換才是共軛對成的，而複數函式的變換並不是對稱的。所以，只有當基帶訊號是實訊號的時候，你所說的 “雙邊帶傳輸時，中心頻率兩邊的兩個邊帶所傳輸的資訊是完全一致的（互為鏡象分量），接收機在下變頻處理時，將這兩個邊帶中的任何一個邊帶轉換到基帶處理都是可以獲得全部資訊的。” 這句話才成立。如果基帶訊號是複數訊號，那麼它的兩個邊帶是不對稱的，僅用一個邊帶是不能恢復出原來的資訊的。比如說，如果你有一個純實數的幅度調製(ASK) 的基帶訊號，它的兩個邊帶所傳輸的資訊是完全一致的（互為鏡象分量），接收機在下變頻處理時，將這兩個邊帶中的任何一個邊帶轉換到基帶處理都是可以獲得全部資訊的。你可以用單邊帶傳送這樣的訊號。可是，對於 QAM 訊號就不是這樣，因為 QAM 是複數訊號，它的兩個邊帶是不對稱的，僅用一個邊帶是不能恢復出原來的資訊的。所以，你不可能用單邊帶傳送 QAM。最後，你所說的 “所謂用cos傳一半資料、sin傳另一半資料是不對的。”這句話顯然也是不對的。 QAM 訊號就是用 cos傳一半資料、sin 傳另一半資料的。

AAA10: 1) 我想這裡本來就是討論實數基帶訊號的情況。

2) QAM也沒有什麼特殊之處，4QAM就是QPSK。

3) 關於一半資料的說法是我沒有想清楚就寫出來了，主要是針對前面討論，想說明並非一個邊帶傳一半資料。cos就是傳所謂的I路，sin傳所謂的Q路訊號而已。似乎也有點昏了。問題都有點搞不清楚了。一個基帶表示的QPSK訊號，算是實數基帶訊號還是複數基帶訊號？我們對頻帶傳輸的QPSK、16QAM訊號就是下變頻之後只用了一個邊帶訊號解調的啊？！

AAA11: 看來大家對這個題目很有興趣。為便於討論，我先把問題梳理一下。

(1) 為了產生純實數的 OFDM 訊號，通常的做法是從資訊資料中取 N 個複數用以定義正頻率部分 (0~fm)，再拼接它們的共軛對稱以定義負頻率部分 (-fm~0)。然後做 IFFT，得到 2N 點的實數訊號，其頻率範圍是 (-fm, fm)。這樣產生的訊號，傳遞 N 個複數資訊資料。如果用基帶傳輸，頻寬為 fm。如果用通帶傳輸，頻寬為 2fm。

(2) 為產生複數的 OFDM 訊號，則直接從資訊資料中取 2N 個複數，直接做 IFFT 後得到複數的訊號，再用 cosine 和 sine 載波分別傳送實部和虛部。與產生實數訊號的過程相比，由於不需要產生共軛對稱的頻譜，負頻率部分也被用來傳送資訊資料。這時 RF 訊號的頻寬為 2fm，傳送 2N 個複數資訊資料。所以通帶傳輸與基帶傳輸的頻帶效率是一樣的。

(3) lovewa 的問題源於一篇 IEEE 的文章裡的方法。該方法與上面的做法不同，所以令人迷惑。它的做法是從資訊資料中取 N 個複數，做 IFFT 後取出實部；在接受端，加倍取樣，得到 2N 個實數，從中恢復出原來的 N 個資訊資料。由於只傳輸實部，不傳送虛部， lovewa 的問題就是：能否利用通帶傳輸中傳輸虛部的能力 (即用 sine 載波) 再傳輸一路資訊，以提高通道頻帶的利用率。

我比較關心的問題是：用 (3) 的方法，是否能獲得比方法 (2) 高的頻帶效率 ?

我的看法是，在方法 (3) 中，如果用通帶傳輸，你可以用 sine 載波再傳一路另外的實部訊號，但是並不能獲得比方法 (2) 高的頻帶效率。歡迎大家各抒己見。

AAA12: 確實，4QAM就是QPSK。但是，不管你叫它 4QAM 還是 QPSK， 它的基帶都是複數訊號。通常所說的 I 路就是它的實部，Q 路就是它的虛部。它的每個符號的頻譜都是不對稱的。你不可能只用一個邊帶來傳送和恢復它。

AAA13: 我認為如果用另外一路傳送另外一筆實數訊號可行～

那頻譜效率就會跟(2)一致，2N資料，2fm頻寬

(3)有沒有可能比(2)頻譜效率使用高

我認為有，就再多一路正交載波即可

如此頻譜效率會提升成1.5倍的(2)

AAA14: 普遍用的方法是未昏的總結中提到的（2）

至於(3) lovewa 的問題源於一篇 IEEE 的文章裡的方法。該方法與上面的做法不同，所以令人迷惑。它的做法是從資訊資料中取 N 個複數，做 IFFT 後取出實部；在接受端，加倍取樣，得到 2N 個實數，從中恢復出原來的 N 個資訊資料。由於只傳輸實部，不傳送虛部， lovewa 的問題就是：能否利用通帶傳輸中傳輸虛部的能力 (即用 sine 載波) 再傳輸一路資訊，以提高通道頻帶的利用率。

我還沒看那篇文章。通過你們的討論，我理解是ifft之後取出的實部做2倍過取樣，然後上變頻發射，對嗎？

這裡面有兩個問題：（1）假設ifft後有N個複數點，常規方法發射端IQ兩路共

2N個點。採用你所說IEEE 的文章裡的方法。2倍過取樣後發射端就是2N個點。

如果如你所說再傳一路就在加上2N個點。每次傳輸資訊多了一倍，同樣發射點數也多了一倍，對傳輸率沒有提高。

（2）取出實部的方法，得考慮一下在射頻中能否實現，是否可以上變頻。

文章中的方法是否正確我還需要驗證一下，不過你的想法還是很有意義的，我們在做實際專案的時候，射頻之前是要做過取樣的，如果可以把文章中的過取樣和實際系統中的過取樣合起來，理論上在實際系統中是可以提高傳輸速率

AAA15: 你提出的這個問題我仔細推了一遍

首先想確定一下利用通帶傳輸中傳輸虛部的能力再傳輸一路資訊不是最優方法

因為你那樣做導致星座圖不再均勻，抗干擾能力下降，而你那樣提高傳輸率的方法和將QAM增加一倍是等效的，但抗干擾的效能遠不如將QAM增加一倍

AAA16: 我還沒看那篇文章。通過你們的討論，我理解是ifft之後取出的實部做2倍過取樣，然後上變頻發射，對嗎？

Ans:非也，過取樣是在接收端接收到訊號的時候做的

也就是說發射端實際上只有傳N點的實部資料出去

這裡面有兩個問題：

（1）假設ifft後有N個複數點，常規方法發射端IQ兩路共2N個點。採用你所說IEEE 的文章裡的方法。2倍過取樣後發射端就是2N個點。

如果如你所說再傳一路就在加上2N個點。每次傳輸資訊多了一倍，同樣發射點數也多了一倍，對傳輸率沒有提高。

Ans:這個問題不會成立，說明同上

（2）取出實部的方法，得考慮一下在射頻中能否實現，是否可以上變頻。

Ans:這個部分我不太懂，所以沒辦法回答

P.S.再多討論幾次吧，結論似乎快出來了～

AAA17: 接著我上面關於產生 OFDM 訊號的三種方法的貼子，我來解釋一下我的看法。我的看法是：方法(3) 在本質上與方法 (1) 是一樣的。雖然做法上有所不同，但兩者在通道上傳輸的時候，它們的頻帶效率是一樣的。

理由如下。

(1) 一個實數時域訊號，無論是用什麼方法產生的，它的付氏變換一定是共軛對稱的。如果對這一點有疑問，請複習付氏變換的性質。

所以，當你對一個複數時域訊號取出它的實部的時候，你已經使被取出的訊號的付氏變換變成共軛對稱的了。

(2) exp(j*2*pi*fn*t) 是一個複數時域訊號。它的付氏變換是位於 fn 的一條譜線。

(3) exp(j*2*pi*fn*t) = cos(2*pi*fn*t) + j*sin(2*pi*fn*t)。如果對 exp(j*2*pi*fn*t) 取實部，將得到 cos(2*pi*fn*t)。

(4) cos(2*pi*fn*t) 的付氏變換是位於 -fn 和 fn 的共軛對稱的兩條譜線，而不是一條。

(5) Cn*cos(2*pi*fn*t + Qn) 的付氏變換也是位於 -fn 和 fn 的共軛對稱的兩條譜線，而不是一條。這裡 Cn 和 Qn 都是實數。

(6) IFFT 的計算過程就是把 N 個複數與 N 個 exp(j*2*pi*fn*t) 相乘，再加起來。

(7) 所以，對 IFFT 的結果取實部後得到的是 N 項 Cn*cos(2*pi*fn*t + Qn) 之和。其中的每一項都有兩條譜線，一共有 2N 條共軛對稱的譜線。

(8) 這樣的處理，其效果與方法 (1) 中拼接共軛對稱譜線的效果是一樣的。這個實數訊號被送到通道上。它的頻頻寬度與方法 (1) 是一樣的，而且同樣傳送 N 個複數。所以兩者的頻帶效率是相同的。

(9) 如果在通帶中用 cosine 傳送這樣的訊號，可以同時用 sine 再傳另外一路訊號，但是與基帶傳輸相比，頻寬增加一倍。其頻帶效率與方法 (2) 是相同的，並不能獲得比方法 (2) 高的頻帶效率。

我無意與任何人爭論或爭勝負輸贏。我的興趣只是交流。如果哪位覺得不能同意，請堅持你的意見，並爭取在實驗中驗證。我的看法僅供參考。

AAA18: Um...開始懂您的意思了，大概是資質駑鈍呀

我想再請問一個問題，關於頻譜效率的定義～

要如何在沒有傳送速率的情況下定義這個呢？

因為我從文中只看出使用了多少個點的IFFT，和使用了多少的頻寬

這樣就可以直接定義出他的頻譜效率了嗎？

另外第九點比較不明暸一點，這樣子的話是不是頻譜效率和（2）一樣

但是如果考慮進傳輸速率，難道用另一路傳送資料不會提高嗎？

我比較困惑這一點～

最後，大家討論嘛，如果有言語上比較不妥當的地方真的是抱歉

我認為這樣的討論很好呀，在研究室裡都很難遇到這樣的朋友～

您的看法從數學上來分析真的很講究，果然學術一定要數理當基礎呀！

AAA19:

看了一下訊號分析的書，瞭解到非對稱濾波器的概念，也看到非對稱濾波器的脈衝響應是一個調幅調相訊號，該非對稱濾波器的等效低通濾波器的衝激響應是復的。

但對其物理意義和實際處理方式還是不理解，麻煩再解釋一下，或者能否給出什麼資料對此講得比較詳細。

比如QPSK訊號，我們在基帶處理時，似乎還是認為其頻譜是對稱的，只關心其正頻域部分；而且正交的兩個通道都單獨按照實訊號來處理，濾波和ADC。

AAA20: 再看了一下那篇paper，似乎並沒有說DFT之後取實部後就只用Cos來傳輸啊？感覺和一般的帶通訊號用覆信號表達是一致的，取實部就是原來的帶通訊號，它還是由cos和sin組成的：

s(t)=a(t)cos[wt+theta(t)]

=a(t)cos[theta(t)]coswt-a(t)sin[theta(t)]sinwt

覆信號表示 S(t)=a(t)*e^jtheta(t)*e^jwt

s(t)=Re{S(t)}

表示式和paper中只相差一個負號而已。

paper中DFT之前是N個覆信號，DFT之後取實部，但傳送的還是2N個實訊號，應該是cos和sin都用了；接收端得到的也是2N個實數，並非前面分析的N個實數。

文中比較讓人困惑的一句話是：因為只傳送了FT的實部，所以必需2倍取樣。不知2倍取樣和只傳了FT的實部有何關係？

AAA21: 關於頻譜效率的定義～

要如何在沒有傳送速率的情況下定義這個呢？

因為我從文中只看出使用了多少個點的IFFT，和使用了多少的頻寬

這樣就可以直接定義出他的頻譜效率了嗎？

回答：

我們的討論目的只是定性地比較，而不是定量地計算頻帶效率，所以比較幾種方法的頻帶效率時只提到用多寬的頻帶傳送多少個複數符號，並沒有談及每個符號表示多少位元。如果我們知道或規定好每個符號代表多少位元，就等於是在用多寬的頻帶傳送多少位元來討論頻帶效率。

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另外第九點比較不明暸一點，這樣子的話是不是頻譜效率和（2）一樣

但是如果考慮進傳輸速率，難道用另一路傳送資料不會提高嗎？

我比較困惑這一點～

回答：

原文只討論用基帶傳輸，所以不存在再傳一路的問題。如果改用通帶而又仍然只傳一路，那麼頻帶效率是浪費了一半。如果再傳一路，可以避免這個浪費，使總的傳輸速率比只傳一路是提高了。不過，用通帶可以傳兩路訊號是大家早就知道的事，而且頻帶效率也不比已有的技術有任何改進。在我看來好像很難算得上新意或成果。

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最後，大家討論嘛，如果有言語上比較不妥當的地方真的是抱歉

回答：

我們的討論並沒有什麼問題。只是每個人的時間都有限，不可能無限制地進行下去。而討論的問題往往也不容易講明白和聽明白。所以到一定程度也只能求同存異，互相尊重和保留各自的意見，不必一定要爭出個高低來。無論你同意還是不同意我的看法，你首先提出這個問題，就很值得讚賞。

AAA22:

比如QPSK訊號，我們在基帶處理時，似乎還是認為其頻譜是對稱的，只關心其正頻域部分；

回答：

我們平時討論的大多是指平均功率譜。這“平均”兩個字很重要。 QPSK 訊號的瞬時譜是非對稱的，但平均以後的功率譜是對稱的。

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而且正交的兩個通道都單獨按照實訊號來處理，濾波和ADC。

回答：

一個複數由實部和虛部組成，如 a+j*b。其中 a 和 b 各自都是實數。所以正交的兩個通道都各自按照實訊號來處理。

負頻

在訊號處理中採用覆信號表示法主要是為了數學處理的方便，因為若採用實訊號表示法，當對訊號進行處理時，將會產生大量的“交叉項”，這會給系統的分析帶來一定的複雜性，而這個問題通過採用覆信號表示法可以得到減輕，而且由於覆信號的實部和虛部正好與接收機中的同相支路（I）和正交支路（Q）相對應，所以在系統中採用覆信號表示法就是很自然的事。實訊號的頻譜是雙邊對稱的，也就是說存在著負的頻率，但是實際上負頻率也是不存在的，而解析的覆信號的頻譜恰恰就是隻有正頻率的。 
為了得到與某個實訊號相對應的覆信號，可以通過將實訊號的正頻率譜加倍，並令負頻率譜等於零而得到，而這個過程的實際工程實現是通過希爾伯特變換進行的，這樣的覆信號是解析的。 
有關這個問題的進一步的詳細解釋可以參考Richard L. Mitchell所著的Radar Signal Simulation. Artech House,INC. 1976 或者其中譯本：陳訓達譯. 雷達系統模擬. 北京：國防工業出版社，1982

從訊號與系統的角度，我認為這樣理解也不錯： 
1,求系統的響應必須要要輸入訊號與系統進行卷積; 
2,為了簡化和便於數值處理，人們就需要尋找一類特殊的基本單元訊號，這類特殊的訊號有兩大特點:（1）,可表達普遍的訊號，（2）,此類訊號的響應較為簡單; 
3,經過尋找，發現指數形式的訊號很適合做這類基本單元訊號;它的響應是常值與指數的積;並且，此類訊號可表示大量的訊號; 
4,關鍵是要把普通的實訊號表示成為指數形式，也需要引入虛數的概念（Euler公式）。 
對這個問題的理解是可多方面的，TomCat的理解更多是從將訊號表示成為複數形式的好處來說明的，而我的角度則是站在即便用實數形式表示訊號，也需要引入虛數的概念原因來說明的（當然，有些時候訊號本來就是用實數形式表示的，這是其通用形式）。 
剛到這個網站沒幾天，感覺這個網站不錯，可以向大家多多學習樂！

對於一個實訊號，頻譜是共軛對稱的，即負頻可以完全有正頻確定，是冗餘的。對於最高頻率為fm的基帶訊號，如果調製到載波上，則正頻率部分的頻寬為2fm；而如果對於基帶訊號構造其解析新後再調製到載波上，則頻寬僅為fm，從這個意義上解析訊號可以使頻寬減半，可以降低帶通訊號的取樣頻率。 
當然，從另外一個角度講，實訊號變為覆信號後，實際上變為了兩路訊號，比如解析訊號（實部為原訊號，虛部為正交訊號）。所以，對於取樣來說，由一路取樣變為了兩路取樣，實際取樣率並未減少。 
覆信號的實現就是通過兩個訊號通道。負訊號相乘，就不止是兩個通道各自的運算，而是交叉耦合相乘。復諧波x=xr+j*xi=cos(wit)+j*sin(wit)=exp(jwit)與複數a+jb的乘法如圖所示：

那麼覆信號通過濾波器應該怎麼處理?是將實部和虛部分別處理麼? 
濾波器係數怎麼理解?分別是同相和正交分量的係數麼?

一般情況下是兩個實係數的數字濾波器，對實部和虛部分別處理。 
不過，現在也有復係數濾波器，可以直接對覆信號進行濾波處理。現在做的雷達模擬系統脈衝壓縮中的匹配濾波取樣的就是復係數濾波器，即卷積濾波的輸入和係數以及輸入都是複數。有時候從覆信號流圖的角度去考慮問題和處理問題，也能帶來很多方便之處，比如在中頻直接取樣數字混頻正交變換中。 
推廣一下，二元有覆信號（兩通道，用1,i表示單位），四元有超覆信號（四通道，用1,i,j,k表示單位），相應的都有（超）復係數濾波器。感興趣的可以去檢視一些相關的文獻。