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組合c(m,n)的計算方法

2017年10月13日 ⁄ 綜合 ⁄ 共 2603字 ⁄ 字號 小 中 大 ⁄ 評論關閉

   問題：求解組合數C(n,m)，即從n個相同物品中取出m個的方案數，由於結果可能非常大，對結果模10007即可。

      共四種方案。ps：注意使用限制。

方案1:

暴力求解，C(n,m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!，n<=15 ；

int Combination(int n, int m) 
{ 
    const int M = 10007; 
    int ans = 1; 
    for(int i=n; i>=(n-m+1); --i) 
        ans *= i; 
    while(m) 
        ans /= m--; 
    return ans % M; 
} 

int Combination(int n, int m)
{
 const int M = 10007;
 int ans = 1;
 for(int i=n; i>=(n-m+1); --i)
  ans *= i;
 while(m)
  ans /= m--;
 return ans % M;
}
 

方案2:

打表，C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)，n<=10,000

const int M = 10007; 
const int MAXN = 1000; 
int C[MAXN+1][MAXN+1]; 
void Initial() 
{ 
    int i,j; 
    for(i=0; i<=MAXN; ++i) 
    { 
        C[0][i] = 0; 
        C[i][0] = 1; 
    } 
    for(i=1; i<=MAXN; ++i) 
    { 
        for(j=1; j<=MAXN; ++j) 
        C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % M; 
    } 
} 
int Combination(int n, int m) 
{ 
    return C[n][m]; 
} 

const int M = 10007;
const int MAXN = 1000;
int C[MAXN+1][MAXN+1];
void Initial()
{
 int i,j;
 for(i=0; i<=MAXN; ++i)
 {
  C[0][i] = 0;
  C[i][0] = 1;
 }
 for(i=1; i<=MAXN; ++i)
 {
  for(j=1; j<=MAXN; ++j)
  C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % M;
 }
}
int Combination(int n, int m)
{
 return C[n][m];
}
 

方案3:

質因數分解，C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)，C(n,m)=p1a1-b1-c1p2a2-b2-c2…pkak-bk-ck,n<=10,000,000

#include <cstdio>  
const int maxn=1000000; 
#include <vector>  
using namespace std; 
bool arr[maxn+1]={false}; 
vector<int> produce_prim_number() 
{ 
        vector<int> prim; 
        prim.push_back(2); 
        int i,j; 
        for(i=3;i*i<=maxn;i+=2) 
        { 
                if(!arr[i]) 
                { 
                        prim.push_back(i); 
                        for(j=i*i;j<=maxn;j+=i) 
                                arr[j]=true; 
                } 
        } 
        while(i<maxn) 
        { 
                if(!arr[i]) 
                        prim.push_back(i); 
                i+=2; 
        } 
        return prim; 
} 
//計算n!中素數因子p的指數  
int cal(int x,int p) 
{ 
        int ans=0; 
        long long rec=p; 
        while(x>=rec) 
        { 
                ans+=x/rec; 
                rec*=p; 
        } 
        return ans; 
} 
//計算n的k次方對m取模，二分法  
int pow(long long n,int k,int M) 
{ 
        long long ans=1; 
        while(k) 
        { 
                if(k&1) 
                { 
                        ans=(ans*n)%M; 
                } 
                n=(n*n)%M; 
                k>>=1; 
        } 
        return ans; 
} 
//計算C（n，m）  
int combination(int n,int m) 
{ 
        const int M=10007; 
        vector<int> prim=produce_prim_number(); 
        long long ans=1; 
        int num; 
        for(int i=0;i<prim.size()&&prim[i]<=n;++i) 
        { 
                num=cal(n,prim[i])-cal(m,prim[i])-cal(n-m,prim[i]); 
                ans=(ans*pow(prim[i],num,M))%M; 
        } 
        return ans; 
} 
int main() 
{ 
        int m,n; 
        while(~scanf("%d%d",&m,&n),m&&n) 
        { 
                printf("%d\n",combination(m,n)); 
        } 
        return 0; 
} 
 

方案4:

Lucas定理，將m,n化為p進位制,有:C(n,m)=C(n0,m0)*C(n1,m1)...(mod p)，算一個不是很大的C(n,m)%p,p為素數，化為線性同餘方程,用擴充套件的歐幾里德定理求解，n在int範圍內，修改一下可以滿足long long範圍內。

#include <stdio.h>
const int M = 2013;
int ff[M+5];  //打表，記錄n!，避免重複計算

//求最大公因數
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

//解線性同餘方程，擴充套件歐幾里德定理
int x,y;
void Extended_gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        Extended_gcd(b,a%b);
        long t=x;
        x=y;
        y=t-(a/b)*y;
    }
}

//計算不大的C(n,m)
int C(int a,int b)
{
    if(b>a)
        return 0;
    b=(ff[a-b]*ff[b])%M;
    a=ff[a];
    int c=gcd(a,b);
    a/=c;
    b/=c;
    Extended_gcd(b,M);
    x=(x+M)%M;
    x=(x*a)%M;
    return x;
}

//Lucas定理
int Combination(int n, int m)
{
    int ans=1;
    int a,b;
    while(m||n)
    {
        a=n%M;
        b=m%M;
        n/=M;
        m/=M;
        ans=(ans*C(a,b))%M;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int i,m,n;
    ff[0]=1;
    for(i=1; i<=M; i++) //預計算n!
        ff[i]=(ff[i-1]*i)%M;
    while(~scanf("%d%d",&n, &m))
    {
        printf("%d\n",Combination(n,m));
    }
    return 0;
}