本文為學習《劍指offer》的記錄。因其原理在原作者部落格上找不到，所以，只能自己編寫記錄，如有不當之處，歡迎指正。

題目描述：
n個數，編號為 0 ， 1， ……， n-1 排成一個圓圈，從數字 0 開始，每次從這個圓圈中刪除第 m 個數，請問最後一個剩下的數是多少？

推導過程
定義一個函式 f(n, m) 為 n 個數中取 m 最後剩下的編號。
第一個被刪除的數是 (m-1)%n, 記為 k 。此時因為序列已經不連續，函式可以定義為 f’ ( n-1, m) 。
明顯，最後剩下的編號相等，於是： f(n,m) = f’(n-1, m)

然後我們對剩下的數做一個簡單的對映：

k+1 –> 0
k+2 –> 1
.
.
n-1 –> n-k-2
0 –> n-k-1
1 –> n-k
.
.
k-1 –> n-2

這個對映可以記為
p(x) = (x-k-1)%n
其中 x 為對映前的數 （可以自己推導一下）

那麼逆對映就是：
p^-1(x) = (x + k + 1 ) %n
（還是建議自己推導一下）

那麼，對於上面的函式 f’(n-1, m)，就有
f’(n-1, m) = p^-1[f(n-1, m)] = [f(n-1, m) + k +1]%n = f(n, m)

將 k= (m-1)%n 代入：
f(n, m) = [f(n-1, m) + m]%n

這就是我們要的通項公式。
很明顯，當 n = 1 時，f = 0；
於是：

f(n, m) = 0, n = 1

f(n, m) = [f(n-1, m) + m]%n, n>1

使用迴圈就可以輕鬆解決這個問題了。

–END–