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第一類斯特林數求自然數冪和學習小記

阿新 • • 發佈：2019-02-06

目標

求

∑i=0nik

前置技能

第一類斯特林數

第一類斯特林數s(n,m)定義為有n個人，編號分別為1-n，排成m個迴圈排列的方案數。
遞推式：s(n,m)=s(n−1,m−1)+(n−1)∗s(n−1,m)
證明：若第n個人自己排成一個迴圈排列，則方案數為s(n−1,m)；若第n個人加入到原來的迴圈排列中，則可以放在任意一個人的左邊，方案數為(n−1)∗s(n−1,m)

另一種形式

眾所周知，Ckn表示從n件物品中選出k件的方案數，P_n^k表示從n件物品中選出k個排列的方案數
顯然有

Ckn=Pknk!
根據定義我們可以得到Pkn=n∗(n−1)∗...∗(n−k
+1)
展開後可得Pkn=S(k,k)∗nk−S(k,k−1)∗nk−1...
所以有Pkn=∑i=0k(−1)k−i∗s(k,i)∗ni
這個才是第一類斯特林數的定義。
所以第一類斯特林數S就是排列數公式的展開式的係數，也是如上所述的那個東西。

第一類斯特林數的遞推

邊界條件：s(p,0)=0(p>0)，s(p,p)=1(p>=0)

一個小結論

：

∑i=0kCin=Ck+1n+1
證明：因為Ck+1n+1=Ckn+Ck+1n，等式兩邊可以同時把Ckn消掉，然後就又得到了一個相同形式的式子。所以通過歸納法便可以證明這個結論。

求自然數冪和

我們設

Sk(n)=
∑i=0nik
根據第一類斯特林數的定義，有Ckn=Pknk!=∑ki=0(−1)k−i∗s(k,i)∗nik!
把式子中的nk提出來，得nk=Ckn

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