欠取樣或違反奈奎斯特(Nyquist)準則是 ADC 應用上經常使用的一種技術。射頻(RF)通訊和諸如示波器等高效能測試裝置就是其中的一些例項。在這個“灰色”地帶中經常出現一些困惑,如是否有必要服從 Nyquist 準則,以獲取一個訊號的內容。對於 Nyquist 和 Shannon 定理的檢驗將證明:ADC 取樣頻率的選擇與最大輸入訊號頻率對輸入訊號頻寬的比率有很強的相關性。
  原理分析
  Nyquist 定理被表達成各種各樣的形式,它的原意是:如果要從相等時間間隔取得的取樣點中,毫無失真地重建模擬訊號波形,則取樣頻率必須大於或等於模擬訊號中最高頻率成份的兩倍。因而對於一個最大訊號頻率為 fMAX的模擬訊號 fa,其最小取樣頻率 fs 必須大於或等於 2×fMAX
  fs ≥ 2 fMAX
  最簡單的模擬訊號形式是正弦波,此時所有的訊號能量都集中在一個頻率上。現實中,模擬訊號通常具有複雜的訊號波形,並帶有眾多頻率成份或諧波。例如,一個方波除了它的基頻之外,還包含有無窮多的奇次諧波。因此,根據 Nyquist 定理,要從時間交叉的取樣中完整地重建一個方波,取樣頻率必須遠遠高於方波的基頻。
  請注意:當以取樣率fs對模擬訊號fa進行取樣時,實際上產生了兩個混疊成份,一個位於fs+fa,另一個位於fs-fa。它的頻率域顯示在圖 1中。

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  較高頻的混疊成份基本上不會引起問題,因為它位於Nyquist 頻寬(fs/2)以外。較低頻的混疊成份則可能產生問題,因為它可能落在Nyquist 頻寬之內,破壞所需要的訊號。鑑於取樣系統的混疊現象,Nyquist 準則要求取樣率fs < fa,以避免混疊成份覆蓋到第一Nyquist 區。為防止有害的干擾, 任何落在感興趣的頻寬之外的訊號(無論是寄生訊號或是隨機噪聲)都應該在抽樣之前進行過濾。這就解釋了眾多采樣系統中,加裝抗混疊濾波器的必要性。然而,在下面關於次取樣的部分中,會表明存在著一些方法,它們可以在訊號處理應用中用到混疊現象的益處。
  舉例來說:對一個最大頻率為10MHz 訊號,為了從取樣中不失真地重建模擬訊號,Nyquist 規定取樣頻率 320MSPS (每秒百萬次抽樣)。但是,我們很快能看出 Nyquist 定理的侷限性。
  Nyquist 假定所需的資訊頻寬等於Nyquist頻寬或採樣頻率的一半。在圖 1所示的範例中,如果模擬訊號fa頻寬小於fs/2,那麼有可能用低於Nyquist的率進行取樣,仍然能夠防止混疊現象的產生,並避免損壞所需的訊號。應該觀察到,所需最小取樣頻率實際上是輸入訊號頻寬的一個函式,而不僅取決於最大頻率成份。
  Shannon定理進一步驗證了這一結論。Shannon定理是制指,一個頻寬為fb的模擬訊號,取樣速率必須為 fs < 2fb,才能避免資訊的損失。訊號頻寬可以從 DC 到fb(基帶取樣),或從f1到f2,其中fb = f2-f1(欠取樣)。
  因此,Shannon 定理表示:實際所需最小取樣頻率是訊號頻寬的函式,而不僅取決於它的最大頻率成份。通常來說,取樣頻率至少必須是訊號頻寬的兩倍,並且被取樣的訊號不能是 fs/2 的整數倍,以防止混疊成份的相互重疊。注意,fMAX(模擬訊號的最大頻率成份)對於訊號頻寬 B 的大比例最小取樣頻率接近 2B。
  在許多應用中,這大大地減少了對ADC的要求。對一個具有150MHz最大訊號頻率,但只有10MHz 頻寬的訊號進行取樣,可能只需要一個約22MSPS的ADC,而不是Nyquist規定的大於300MSPS的 ADC。
  例如,考慮一個頻寬為 10MHz、位於160MHz~170MHz頻譜範圍內的訊號。假定按照 Shannon 定理要 30MSPS 的取樣率,由於取樣過程會產生附帶的取樣頻率,它們是 30MHz 的整數倍,也就是 60MHz(2fs)、90MHz (3fs). 180MHz 等。介於 160MHz 和 170MHz 之間的所需訊號,在這些取樣頻率的每個諧波(fs、2fs、3fs等)附近都產生混疊。注意:任何一個混疊成份都是原始訊號的一個準確表述。30MSPS 取樣使得 160MHz~170MHz 的訊號被折返到 0~10MHz 的第一Nyquist區。
  從本例中還應注意到:可能存在於 ADC 輸出 FFT 中的最高頻率成份小於或等於取樣頻率的一半。或者說,由於諧波折返或欠取樣,每一個位於 Nyquist 頻寬之外的ADC輸入頻率成份總被折返到第一Nyquist 區。這可由下列等式表示。而次取樣在實用電子系統有許多用途。最常見的欠取樣應用是在數字接收器中。

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  首先讓我們更詳細地解釋次抽樣的過程。次抽樣或折返的過程可以看作是 ADC 輸入訊號與取樣頻率和其諧波的混合。這意味著,許多頻率可以混合為DC,而不再能確認它們的原始頻率。舉一個66MSPS取樣頻率的例子,則所有輸入訊號(66-6、66+6、126、136MHz 等等)頻率混合為 6MHz,見圖2。每個取樣映象折返到小於fs /2。請注意,圖2虛線處將發生相位翻轉,但這些成份可在軟體中去除。如果必須在ADC輸出處確定原始的輸入頻率,則無法使用次取樣。因為這違反了Nyquist準則。如果在 ADC 輸出處無需確定載波頻率,次取樣仍然證明有效。這適用於許多通訊系統,如手機基站接收器,因為接收器只需恢復載波上的資訊,而不是載波本身。
  射頻數字接收器例項
  以使用一個射頻載波頻率 900MHz(歐洲)和 1800MHz(美國)的 GSM/EDGE 基站為例。一個移動基站接收電路類似圖3所示。高頻射頻載波訊號首先在混頻器和本振級下變頻為一個範圍150MHz~190MHz 的中頻,供模擬/數字的轉換使用。前述 Shannon 定理顯示,所必需的取樣頻率是訊號頻寬的函式,在GSM/EDGE系統中頻寬為200kHz。GSM系統的動態範圍規格需要最小10位精度的 ADC,雖然實際都使用12位精度。市面上有大量的高速 ADC 可供選擇,數字接收器的系統設計師選擇器件時必須考慮系統動態範圍要求以及器件的成本。由於這些原因,對於GSM接收器應用,50MSPS~70MSPS取樣率的ADC是最常見的選擇。雖然在66MSPS時150MHz~190 MHz訊號為欠取樣,對於需要的200kHz資訊頻寬,並沒有違反 Nyquist 準則。這種選擇為200kHz的頻寬資訊訊號提供了足夠大的空間,同時提供了超過20dB的處理增益。請注意,由於種種原因,繼續增加取樣頻率來不斷提高處理增益的方法是不切實際的。市面上有更高取樣率的12位ADC,譬如12位80MSPS的ADC(美國國家半導體 ADC12L080),以及一些大於100MSPS的12位專用ADC,但低於100MSPS 和高於 100MSPS 取樣率 ADC 之間的成本差別相當大。

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  處理增益
  ADC噪聲特性通常由熱噪聲所限制,當選定ADC時,其噪聲頻寬通常被定義作Nyquist頻寬。在fs = 66MSPS時,總噪聲底限的測量表示為相對於某一輸入訊號頻率處一個33MHz頻寬內全量程(dBFS)的dB值。但是對ADC輸出進行過濾後,會產生一個更窄的頻寬。濾波過程提供的噪聲處理增益是頻寬減少量的函式。200kHz 的通道濾波器可獲得如下的處理增益:

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  上式假設 ADC 輸出的濾波器去除了混疊映象和fs附近的噪聲。
  這樣,200kHz 頻寬內的 ADC 輸出噪聲變成:
  -62dBFS + (-25.2dB ) = -87.2dBFS.
  當為某個應用選擇正確取樣率的ADC時,不光要知道最高模擬轉換頻率這一個引數。Shannon 定理顯示,訊號頻寬同等重要。我們發現,高於 Shannon 速率的取樣還有其它的好處,如處理增益可以極大地改善動態範圍。系統設計師掌握了這一知識,就能在通用且價格合理的標準 ADC 中,正確地選擇 ADC 取樣頻率和精度。

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