漫步微積分十三——高階導數

y=x4的導數是y′=4x3。但是4x3依然可導，12x2。用y′′表示，叫做原函式的二階導。對二階導y′′=12x2求導得到三階導y′′′=24x，一直這樣做知道沒有定義為止。對於高階導，有些符號是共用的，我們都應該熟悉他們。對函式u=f(x)逐次求導得

一階導數二階導數三階導數n階導數f′(x)f′′(x)f′′′(x)fn(x)y′y′′y′′′y(n)dydxd2ydx2d3ydx3dnydxnddxf(x)d2dx2f(x)d3dx3f(x)dndxnf(x)

這些符號按階數給出。用符號′表示比較麻煩，所以在三階導以上不經常用。有時候，將原函式看作零階導數會非常方便，寫作f(x)

=f(0)(x)。第三列的上標位置看著很奇怪，我們這樣理解，它是一階導數的二次求導

d2ydx2=ddx(dydx)

等式的左邊，上標2在d和dx的上部，和右邊的符號相一致。

更高階的導數有什麼用呢？之後我們會看到，在幾何上，f′′(x)的符號決定了曲線y=f(x)是凸的還是凹的。另外二階導數的定性分析還會提煉成定量的計算公式。

物理學中，二階導非常重要。如果f=f(t)給出了時刻t運動目標的位置，那麼我們就知道位置函式的一階和二階導

v=dsdta=dvdt=d2sdt2

分別是時間t對應的速度和加速度。加速的的中心地位來源於牛頓第二定律，即運動物體的加速度與施加於它的力成正比。牛頓力學的基本問題是利用微積分來推導運動的性質。之後我們會接觸到相關問題。

高階導不像二階導，它沒有這樣基本的幾何或物理解釋。然而，我們會看到，這些導數也是有用的，它將函式擴充套件成無窮級數。

所有的應用在後面的文章中都會進行詳細的討論。同時，我們目前需要熟練計算方法。

例1：很容易求出函式y=x5的所有導數：

y′y(4)=5x4,y′=

漫步微積分十三——高階導數

y=x4的導數是y′=4x3。但是4x3依然可導，12x2。用y′′表示，叫做原函式的二階導。對二階導y′′=12x2求導得到三階導y′′′=24x，一直這樣做知道沒有定義為止。對於高階導，有些符號是共用的，我們都應該熟悉他們。對函式u=f(x)逐次求導得一

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