（多項式）因式分解定理（Factor theorem）與多項式剩餘定理（Polynomial remainder theorem）（多項式長除法）

阿新 • • 發佈：2019-02-07

（多項式的）因式分解定理（factor theorem）是多項式剩餘定理的特殊情況，也就是餘項為 0 的情形。

0. 多項式長除法（Polynomial long division）

1. 因式分解定理

該定理表達的是，多項式 f(x) 存在因子 x−k 當且僅當 f(k)=0（餘數為 0，也即 k 是其根）。

對於多項式 f(x)=x3+7x2+8x+2，

x−1 是否為其因子？f(1)≠0
x+1 是否為其因子？f(−1)=0，故為其因子；

（多項式除法）又有 x3+7x2+8x+2x+1=x2+6x+2，因此 x+1 與 x2+6x+2 均為其因子。

2. 多項式餘項定理

舉例對於多項式 f(x)=x3−12x2−42，當除數為 x−3 時，商為 x2−9x−27，餘項為 −123。也即，f(x)=(x−3)(x2−9x−27)−123。因此 f(3)=−123。

更為一般地，對於二次多項式 f(x)=ax2+bx+c，有如下的等式變換：

f(x)x−r=ax2+bx+cx−r=ax2−arx+arx+bx+cx−r=ax(x−r)+(b+ar)x+cx−r=ax+(b+ar)(x−r)+c+r(b+ar)x−r=ax+b+ar+c+r(b+ar)x−r=ax+b+ar+ar2+br+cx−r

所以：

f(x)=(x−r)(ax+b+ar

)+ar2+br+c

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