前言

這一部分主要講解相機的標定在matlab中的具體實現方法。

由於特殊原因，現在實現的具體程式碼找不到了，我會在以後重新補上。

Computation of Camera 相機矩陣的計算

Direct Linear Transform

相機矩陣的計算運用了一個很重要的方法，叫做DLT (Direct Linear Transform)，即“直接線性變換”。這種方法的核心思維就是將所求矩陣轉化成一個列向量，即將AB＝0（A，B都是矩陣）轉化成A‘b＝0，這裡b變成了一個向量，但是它儲存的資訊並沒有減少，比如假設B是5x6的矩陣，那麼b就是30x1的向量。這種方法的作用是巨大的，簡單一點說，DLT的作用就是通過重組方程，得到一種比較好求解的形式。原本要求解AB＝0

補充完方法後，現在進入正題

x＝PX即投影方程，我們的目的是從這個方程中解出P，即相機矩陣。PX的運算結果是一個向量，即x，那麼我們就可以運用向量的Cross Product（叉積）來構造方程。顯然一個向量與自己的叉積是為零的。

接下來，將對應的值代入。注意在三維空間的線性代數中，有一個convention（不成文但大家都遵循的規則），即任意一個向量a，預設其為列向量。所以在PX的展開式中，可以看到，其實p1，p2，p3應該代表行向量，分別表示矩陣P的1，2，3行，它們儲存的資訊是一行的資訊，但是隻要用p1

接下來對得到的乘積進行重組，得到了上圖的結果。注意，這時候p1，p2，p3是列向量，所以Ap＝0中的p已經滿足了DLT的要求，即變成了一個列向量。

這一步乍一看好像沒啥大變化，實際作用是捨去了一個無用的方程。因為方程Ap＝0一定是有Non-trivial Solution（即非零解）的，也就是說明矩陣A的所有行之間是Linear Dependent（非線性獨立）。換句話說，看似方程Ap＝0是由三個方程構成的，其實這三個方程中的任意一個都能用另外兩個的Linear Combination（線性組合）來表示出來，所以實際有意義的只有兩個方程。換句話說，一組三維與二維點能夠提供兩個方程，在上一篇文章中講過，相機矩陣P有11個自由度，所以我們需要11個方程來解P，顯然就要拿到6組對應點，但實際上最後一組點只要一個方程就夠了。

現在拿到了方程，就剩下解方程了，只要求解矩陣A的right null space，就能拿到向量p。

Singular Value Decomposition（SVD）奇異值分解

SVD是線性代數中很重要的一個方法，也是matlab中的一個很基本的函式。這裡我們運用SVD方法來求解一個矩陣的null space（零空間）。

關於SVD的具體理論知識我就不講了，可以參考百度或者Wiki，或者看線性代數的教材。這裡只講如何運用SVD。

SVD可以將一個m x n的矩陣A分解成三個矩陣的乘積，即 A＝UDV*

＋U是一個m x m的矩陣
＋D是一個m x n的Diagonal Matrix（對角陣）
＋V是一個n x n的矩陣

求解矩陣A的null space，即從矩陣V的列向量來構造。

因為方程Ap＝0中的矩陣A是一個11x12的矩陣，並且每一行之間都是線性獨立的，根據等量關係

Rank (Null (A)) = (Number of columns) - Rank (A)

即一個矩陣對應的零空間的秩等於它的行數減去它本身的秩。

所以可以得到，矩陣A的零空間的秩即為12-11=1，也就是說A的零空間是一個一維的空間。

所以SVD結果中矩陣V的最後一列，一個12x1的列向量，即為矩陣A的零空間的基底。換句話說，如果用V12來表示矩陣V的最後一列的話，aV12（a為任意常數）就可以表示整個A的null space。所以我們只要拿到V12，就能算作一個合理的向量p的解，因為相機矩陣P本身具有scale ambiguity（上篇文章中介紹過，產生的原因是齊次座標的性質），所以V12乘任意一個常數都是一個合理的解。為了統一解的結果，一般會用Normalization，即將向量p的模化為單位量1，然後重新組合向量p得到相機矩陣P。

這部分的最後再講解一下SVD更一般化的用法。

SVD求解null space的時候，結果中的矩陣V的最後a個向量（a取決於null space的維數）作為基底張成的空間，即為null space

具體來說，這個問題因為null space是一維的，所以只要取最後一個向量，以它張成的空間，即為所求的null space，這是最簡單的情況

在以後求解Relative Pose的時候，會遇到多維的null space。假如null space是二維的，就要用向量Vn（最後一個向量）和Vn－1（倒數第二個向量）作為基底

所求的null space便為 (aVn + bVn-1)，這裡a和b是兩個任意常數，需要用額外的constraint來確定a和b的值。

Recover Camera Parameters 相機矩陣的具體引數

求解相機中心C

拿到相機矩陣後，首先求解相機中心C，即在參考座標中所標定相機的相機中心的空間座標

這裡用到的是一個常識，每一個空間點投影在相機中會對應一個二維點座標，如果一個相機的中心投影在它本身的平面的上，對應的點即為平面點原點。所以 PC ＝ 0。

這時候我覺得你應該想到怎麼求解C了吧，C不就是矩陣P的null space嗎，而且矩陣P不是滿秩，Rank (P) ＝ 2，那麼對應的P的null space就是一維的，也就是最簡單的情況。

用SVD求解C是一種線性代數的方案，這裡給出了另一種普通代數方案，至於怎麼得出的這個解的形式我就不講了。如果SVD還不太會用的話可以直接套這個公式。

求解內部矩陣K和旋轉矩陣R

在求解之前，同樣，我們先觀察一下。

＋相機矩陣K是一個Upper Triangular Matrix（上三角矩陣）
＋旋轉矩陣R是一個Orthogonal Matrix（正交矩陣）

有了這些性質，求解過程就容易一些了。

對於這種情況，需要用到另一個線性代數的方法，RQ－Decomposition。但是matlab中沒有這個函式，不過有它的“好朋友”QR－Decomposition

因為這個方法相對較難理解，同理，這裡也有簡單的代數方案。

相機矩陣P可以表示稱上圖的形式，因為C已經解出來了，所以M只要通過P的最後一列就能求出，接下來的運算都圍繞M展開。

旋轉矩陣R也可以分解成x，y和z三個不同的分量

直接套用上圖公式，便可求的繞x旋轉的分量。同理，Ry和Rz的公式給出在下圖

最終旋轉矩陣R可以有其三個分量的乘積求出，然後利用下圖公式，便可求出內部矩陣

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總結

到此為止相機的標定就結束了，簡單小結一下，相機的標定並不是很難，這部分最重要的就是DLT和SVD，這兩個方法在後續的學習中會繼續使用，一定要融會貫通。