機器學習中梯度下降法和牛頓法的比較
在機器學習的優化問題中，梯度下降法和牛頓法是常用的兩種凸函式求極值的方法，他們都是為了求得目標函式的近似解。在邏輯斯蒂迴歸模型的引數求解中，一般用改良的梯度下降法，也可以用牛頓法。由於兩種方法有些相似，我特地拿來簡單地對比一下。下面的內容需要讀者之前熟悉兩種演算法。
梯度下降法
梯度下降法用來求解目標函式的極值。這個極值是給定模型給定資料之後在引數空間中搜索找到的。迭代過程為：
可以看出，梯度下降法更新引數的方式為目標函式在當前引數取值下的梯度值，前面再加上一個步長控制引數alpha。梯度下降法通常用一個三維圖來展示，迭代過程就好像在不斷地下坡，最終到達坡底。為了更形象地理解，也為了和牛頓法比較，這裡我用一個二維圖來表示：
懶得畫圖了直接用這個展示一下。在二維圖中，梯度就相當於凸函式切線的斜率，橫座標就是每次迭代的引數，縱座標是目標函式的取值。每次迭代的過程是這樣：
- 首先計算目標函式在當前引數值的斜率（梯度），然後乘以步長因子後帶入更新公式，如圖點所在位置（極值點右邊），此時斜率為正，那麼更新引數後引數減小，更接近極小值對應的引數。
- 如果更新引數後，當前引數值仍然在極值點右邊，那麼繼續上面更新，效果一樣。
- 如果更新引數後，當前引數值到了極值點的左邊，然後計算斜率會發現是負的，這樣經過再一次更新後就會又向著極值點的方向更新。
根據這個過程我們發現，每一步走的距離在極值點附近非常重要，如果走的步子過大，容易在極值點附近震盪而無法收斂。解決辦法：將alpha設定為隨著迭代次數而不斷減小的變數，但是也不能完全減為零。
牛頓法
首先得明確，牛頓法是為了求解函式值為零的時候變數的取值問題的，具體地，當要求解 f(θ)=0時，如果 f可導，那麼可以通過迭代公式
來迭代求得最小值。通過一組圖來說明這個過程。
當應用於求解最大似然估計的值時，變成ℓ′(θ)=0的問題。這個與梯度下降不同，梯度下降的目的是直接求解目標函式極小值，而牛頓法則變相地通過求解目標函式一階導為零的引數值，進而求得目標函式最小值。那麼迭代公式寫作：
當θ是向量時，牛頓法可以使用下面式子表示：
其中H叫做海森矩陣，其實就是目標函式對引數θ的二階導數。
通過比較牛頓法和梯度下降法的迭代公式，可以發現兩者及其相似。海森矩陣的逆就好比梯度下降法的學習率引數alpha。牛頓法收斂速度相比梯度下降法很快，而且由於海森矩陣的的逆在迭代中不斷減小，起到逐漸縮小步長的效果。
牛頓法的缺點就是計算海森矩陣的逆比較困難，消耗時間和計算資源。因此有了擬牛頓法。