【總結】概率與期望
前言
作為NOIP級的知識點，概率與期望算是比較困難的型別了。
但其實也不是無法解決的難題。
本文主要通過作者本人的刷題經歷，對概率期望類題目進行總結。
概率
51Nod1639綁鞋帶：
有n根鞋帶混在一起，每根鞋帶有兩個鞋帶頭。現在重複n次以下操作：隨機抽出兩個鞋帶頭，把它們綁在一起。求最終只形成一個環的概率？
依次考慮每一步操作，現在已經選出來了一個頭，它必須和非它所在的鏈的另一個頭綁在一起，才能得到合法方案。顯然所有的鞋帶頭中，有且僅有一個和它在一條鏈上，所以成功的概率就是，由於每次操作，會消去兩個鞋帶頭，所以當前的鞋帶頭數=總的鞋帶頭數-操作次數*2。題目要求不允許失敗，所以答案就是每一次成功概率的乘積。
在這道題目中，我們在每一步操作時，都計算出了當前的情況總數，並將其轉化為概率的形式。
Uva1636 Headshot
題意很簡單，有一把左輪手槍（左輪都不知道的面壁去），已知子彈的分佈，現在開了一槍，是空槍，現在有兩種方案：1，直接再開一槍，2、隨機從某個位置再開一槍。求使得下一發子彈也是空槍
這道題算是比較簡單的條件概率：已知第一發沒有子彈。解法很簡單，隨機開一槍概率為，再開一槍概率
Uva11181 Probability|Given
這道題只是運用列舉法求概率的典型，價值不大。
Uva557 Burger
題意：有A、B兩種漢堡各n個，2n個人依次拿，若當前兩種漢堡均有剩餘，隨機拿走某種的一個，否則只能拿走剩餘的。現在求最後兩個人拿到不同的漢堡的概率。
其實就是計算拿前2n-2個，到最後每種都還剩一個的概率。就是說，前2n-2個人中，有n-1個拿的是A種漢堡，剩餘的拿的是B種漢堡，那麼這樣合法的方案就是，這時，再來看每一步能拿到我們計劃中的狀態的概率，由於對於所有合法方案，最後兩類都有剩餘，也就是說，之前每個人都有選擇，那麼每一個人拿到我們想要他拿到的概率即為，一共拿步，所以最終答案就是
Uva11895 Honorary Tickets
題意：有k個大箱子，每個盒子裡有個盒子，其中有個盒子中有一個糖果。
現在每個人依次操作：選擇一個能拿到糖果概率最大的箱子，從中隨機開啟一個盒子。現在求第k個人能拿到糖果的概率。
這道題可能乍一看覺得很簡單，你可能會誤以為對每個人而言，狀態都是一樣的。其實不然，由於每個人之前的人數不同，所以會對他的選擇造成影響。比如下面這個例子：
現在又2個箱子，第一個箱子有3個盒子，2顆糖。第二個箱子有2個盒子，1顆糖。第一個人肯定選擇第一個箱子，他有的概率拿走一顆糖，還有的概率不能拿走糖。那麼下一次在這個箱子中能拿到糖的概率就變為了：。這時第二個人就只能選第二個箱子了。
其實這個問題還是很簡單。
首先，用優先佇列儲存每個箱子的資訊，我們需要儲存：這個箱子能拿到糖果的概率，這個箱子的盒子數。排列時按照概率從大到小，模擬每個人取糖果的過程，顯然他只會從隊首取，那麼只需要更新一下隊首的概率即可。
如何更新這個概率，我是推了一波公式推出來的結果，但lx大佬告訴了我一個更簡單的推導方式：假設現在又m個盒子，能拿到糖的概率為p，由於每個盒子最多隻有一個，所以現在有糖果的盒子期望數是m*p,那麼有p的概率拿走一個，1-p的概率不拿走，所以更新後的答案就是。
lx大佬的方法巧妙地利用的期望的一些性質，使得推導過程變得極為簡潔，所以推導概率時，巧用期望也是一種極好的方式。
Hdu4326 Game
題意：有n個人排成一列，每次前4個人玩一次遊戲，每個人等概率獲勝，獲勝者留在隊首，其餘人按照原順序排列到隊位。當一個人連續勝利m次後，就成為贏家。現在求拍第k個位置的人獲勝的概率。
這題乍一看很複雜，因為失敗者會到隊尾去，也就是說有可能繼續參加遊戲，所以整個遊戲過程就變得極為複雜。
但其實不需考慮這麼多。由於題目要求第k個人獲勝的概率，那麼我們完全可以忽略其他無關人士的影響。有誰會對當前這個人的勝率造成影響呢？顯然只有隊首的那個人，因為最終獲勝的人肯定在隊首。所以我們可以藉助DP解決。
DP[i][j]表示隊首的人獲勝了i次，此時排第j號位置的人的勝率。轉移方程很簡單，只不過會形成環，所以要用高消解決。前4個人的轉移稍微複雜一點，其他人都是一樣的。這裡就不再贅述。
這道題的精髓在於，不需要考慮無關因素，就是說不需要考慮到底初始編號為幾的人贏了，編號為幾的人輸了。只需要關心當前隊首的人即可。並且藉助了DP來解決問題，同時用了高消，強烈建議實現這道題。
期望
期望題本質上和概率差不多，所以就少說一點題目了。
One Person Game
題意：有三個骰子，每個骰子有個面，當每個骰子的點數分別為a、b、c時，回到原點，否則前進點數之和的步數。求到達目標的期望擲骰子次數。
轉移方程很好寫