一、SVD奇異值分解的定義

    假設是一個的矩陣，如果存在一個分解：

其中為的酉矩陣，為的半正定對角矩陣，為的共軛轉置矩陣，且為的酉矩陣。這樣的分解稱為的奇異值分解，對角線上的元素稱為奇異值，稱為左奇異矩陣，稱為右奇異矩陣。

二、SVD奇異值分解與特徵值分解的關係

    特徵值分解與SVD奇異值分解的目的都是提取一個矩陣最重要的特徵。然而，特徵值分解只適用於方陣，而SVD奇異值分解適用於任意的矩陣，不一定是方陣。

這裡，和是方陣，和為單位矩陣，為的特徵向量，為的特徵向量。和的特徵值為的奇異值的平方。

三、SVD奇異值分解的作用和意義

    奇異值分解最大的作用就是資料的降維，當然，還有其他很多的作用，這裡主要討論資料的降維，對於

的矩陣，進行奇異值分解

取其前個非零奇異值，可以還原原來的矩陣，即前個非零奇異值對應的奇異向量代表了矩陣的主要特徵。可以表示為

四、實驗的模擬

1. %% 測試奇異值分解過程  
2. load data.mat;%該檔案是做好的一個手寫體的圖片  
3. B = zeros(28,28);%將行向量重新轉換成原始的圖片  
4. for i = 1:28  
5.     j = 28*(i-1)+1;  
6.     B(i,:) = A(1,j:j+27);  
7. end  
8. %進行奇異值分解  
9. [U S V] = svd(B);  
10. %選取前面14個非零奇異值  
11. for i = 1:14  
12.     for j = 1:14  
13.         S_1(i,j) = S(i,j);  
14.     end  
15. end  
16. %左奇異矩陣  
17. for i = 1:28  
18.     for j = 1:14  
19.         U_1(i,j) = U(i,j);  
20.     end  
21. end  
22. %右奇異矩陣  
23. for i = 1:28  
24.     for j = 1:14  
25.         V_1(i,j) = V(i,j);  
26.     end  
27. end  
28. B_1 = U_1*S_1*V_1';  
29. %同時輸出兩個圖片  
30. subplot(121);imshow(B);  
31. subplot(122);imshow(B_1);