1. 程式人生 > >【動態規劃】凸多邊形最優三角剖分

【動態規劃】凸多邊形最優三角剖分



經典dp問題

 1、問題相關定義:

 (1)凸多邊形的三角剖分將凸多邊形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。

(2)最優剖分給定凸多邊形P,以及定義在由多邊形的邊和絃組成的三角形上的權函式w。要求確定該凸多邊形的三角剖分,使得該三角剖分中諸三角形上權之和為最小。

     凸多邊形三角剖分如下圖所示:

          2、最優子結構性質

若凸(n+1)邊形P={V0,V1……Vn}的最優三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n,則T的權為三個部分權之和:三角形V0VkVn的權,多邊形{V0,V1……Vk}的權和多邊形{Vk,Vk+1……Vn}的權之和。如下圖所示:

          可以斷言,由T確定的這兩個子多邊形的三角剖分也是最優的。因為若有{V0

,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小權的三角剖分,將導致T不是最優三角剖分的矛盾。因此,凸多邊形的三角剖分問題具有最優子結構性質。

         3、遞推關係:

設t[i][j],1<=i<j<=n為凸多邊形{Vi-1,Vi……Vj}的最優三角剖分所對應的權值函式值,即其最優值。最優剖分包含三角形Vi-1VkVj的權,子多邊形{Vi-1,Vi……Vk}的權,子多邊形{Vk,Vk+1……Vj}的權之和。

      因此,可得遞推關係式:

     凸(n+1)邊形P的最優權值為t[1][n]。

     

<em>//3d5 凸多邊形最優三角剖分
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

const int N = 7;//凸多邊形邊數+1
int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};//凸多邊形的權

int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s);
void Traceback(int i,int j,int **s);//構造最優解
int Weight(int a,int b,int c);//權函式

int main()
{
	int **s = new int *[N];  
    int **t = new int *[N];  
    for(int i=0;i<N;i++)    
    {    
        s[i] = new int[N];  
        t[i] = new int[N];  
    } 

	cout<<"此多邊形的最優三角剖分值為:"<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl;  
    cout<<"最優三角剖分結構為:"<<endl;  
    Traceback(1,5,s); //s[i][j]記錄了Vi-1和Vj構成三角形的第3個頂點的位置

	return 0;
}

int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s)
{
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		t[i][i] = 0;
	}
	for(int r=2; r<=n; r++) //r為當前計算的鏈長(子問題規模)  
	{
		for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1為最後一個r鏈的前邊界  
		{
			int j = i+r-1;//計算前邊界為r,鏈長為r的鏈的後邊界  

			t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//將鏈ij劃分為A(i) * ( A[i+1:j] )這裡實際上就是k=i

			s[i][j] = i;

			for(int k=i+1; k<j; k++)
			{
				//將鏈ij劃分為( A[i:k] )* (A[k+1:j])   
				int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j);
				if(u<t[i][j])
				{
					t[i][j] = u;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
	return t[1][N-2];
}

void Traceback(int i,int j,int **s)
{
	if(i==j) return;
	Traceback(i,s[i][j],s);
	Traceback(s[i][j]+1,j,s);
	cout<<"三角剖分頂點:V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
}

int Weight(int a,int b,int c)
{
	 return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];
}</em>

程式輸入如下所示: