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千呼萬喚始出來，我們前面已經做了很多很多的準備，終於可以揭開傅立葉變換的面紗了。當然，在閱讀這篇文章之前，請務必保證你已經掌握了傅立葉級數的所有內容，可以參看

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1.4.4  傅立葉變換的由來

這就是傅立葉變換及其反變換的表示式。一般情況下，若“傅立葉變換”一詞前不加任何限定語，則指的是“連續傅立葉變換”（連續函式的傅立葉變換）。連續傅立葉變換將頻率域的函式F(w)

表示為時間域的函式f(t)的積分形式。而其逆變換則是將時間域的函式f(t)表示為頻率域的復指數函式F(w)的積分。一般可稱函式f(t)為原函式，而稱函式F(w)為傅立葉變換的像函式，原函式和像函式構成一個傅立葉變換對。

若f(t)為偶函式，則F(w)將為純實數，並且同為偶函式（利用這一點便可以得到所謂的餘弦變換）；如果f(t)為奇函式，則F(w)將為純虛數，且同為奇函式；而對任意f(t)， F(w)與F(-w) 始終共軛，這意味著|F(w)| 與|F(-w)| 恆相等，即F(w)的絕對值是偶函式。

傅立葉變換針對的是非周期函式，或者說是週期為無窮大的函式。所以它是傅立葉級數的一個特例。當傅立葉級數的週期 l 

趨於無窮時，自然就變成了上面的傅立葉變換。這種關係從二者的表示式中大概能看出點端倪，但也不是特別明顯，畢竟它們的表達形式差別仍然很大。如果不把傅立葉級數表達成複數形式，那就更加難看出二者之間的聯絡了。傅立葉變換要求 f(t)在實數域 上絕對可積，其實可以理解成“傅立葉級數要求函式在一個週期內的積分必須收斂”。

傅立葉變換是訊號處理中的重要工具。在訊號處理中， f(t)表示的一個訊號在時域上的分佈情況，而F(w) 則表示一個訊號在頻域（或變換域）上的分佈情況。這是因為 F(w)的分佈其實就代表了各角頻率波分量的分佈。由於 F(w)是複數，|F(w)| 的分佈正比地體現了各個角頻率波分量的振幅分佈。F(w) 的輻角體現了各個角頻率波分量的相位分佈。平時所說的“頻譜圖”，其實指的就是|F(w)|的函式影象，它始終是偶函式（這個就是實數了，因為取的是|F(w)| 的幅值而不是 F(w)本身）。對於滿足傅立葉變換條件的非周期函式，他們的頻譜圖一般都是連續的；而對於周期函式，他們的頻譜則都是離散的點，只在整數倍角基頻（ π/

l）的位置有非零的頻譜點存在。根據頻譜圖可以很容易判斷該原函式是周期函式還是非週期的（看頻譜圖是否連續就可以了），而且對於周期函式，可以從頻譜圖讀出週期大小（相鄰的離散點之間的橫軸間距就是角基頻，這個角頻率對應的週期就是原函式的週期）。關於傅立葉變換在訊號處理中更加深入的應用讀者有必要參閱相關資料，此處我們的介紹旨在幫助讀者搞清楚傅立葉變換的由來，並建立傅立葉變換與傅立葉級數之間的關係。

我整理了影象處理中可能用到的一些數學基礎，將其分成了6個章節（全文目錄見上方連結）。如果你對其中的某一小節特別感興趣，但是它還沒有被髮布，你可以在部落格下方留言，我會據此調整發布順序。但是請務必精確地指出章節標號（例如1.3.7 曲面積分），而不是籠統地使用類似“第5章”或者“小波部分”這樣的表述。因為等我把全部整個章節釋出完，可能三個月的時間都已經過去了。

另外，有讀者提出非常希望學習第三章之內容（主要是因為偏微分方程在影象處理中的應用被我輯錄在了這部分內容裡）。為此，我特別整理出第三章的文稿分享給讀者。有需要的讀者可以在部落格下方留言告知我你的郵箱地址，每滿10條郵箱地址，我會統一發送一次完整的第三章文稿。鑑於CSDN的私信功能近來不是很穩定，因此請不要發私信給我，你有可能不會收到任何答覆。