關於CT重建的演算法有很多，在這裡給大家介紹的是濾波反投影演算法，其原理如下：

設f(x,y)表示需要重建的影象，用p(t,θ)表示在角度獲取的f(x,y)的一個平行投影，t表示投影射線到對稱中心（即旋轉中心）的距離，設s為於角度θ下的投影X射線平行的座標軸，它與t所在的座標軸垂直，則：

        （1）

對p(t,θ)進行一維傅立葉變換

    （2）

將（1）代入（2）式得到

  （3）

圖1 影象空間座標系和投影空間座標系

由上圖可以看出，q 點在xoy座標系內的座標

x = Rcosα, y= Rsinα,  式中R為q點到原點的距離。

同樣 q點在 tos中的座標為：

 t = Rcos(a-θ)= x cosθ+y sinθ     (4)

 s = Rsin(a-θ) = ycosθ - xsinθ    (5)

將（4）（5）式代入（3）得到

         （6）

影象f(x,y)的二維傅立葉變換為F(u,v)

              (7)

令u = w cosθ, v = w sinθ,則

F(wcosθ,wsinθ)=P(w,θ)               (8)

由傅立葉變換知，影象函式f（x,y)可以通過其傅立葉反變換F(u,v)中恢復，即

           (9)

令 u = w cosθ, v = w sinθ，並根據(8)

       (10)

利用對稱關係P(w,θ+ π) = P(-w,θ),(9)式變為

     (11)

如果令                          (12)

則(11)式重寫為

            (13)

上述(12)(13)就是濾波反投影的主要公式，(12)中的|w|表示濾波函式。

濾波器的設計與選擇

在濾波反投影重建演算法中，濾波器的設計是關鍵。理想的濾波器是頻帶無限的V型濾波函式，在無窮積分割槽間上的積分發散，根據佩利一維納準則 ，這一理想濾波器是不可實現的。但是如果結合具體的成像過程,則不但能夠實現，而且可以達到足夠的精度。為此，需要對理想濾波函式進行加窗處理，即只保留濾波函式的低頻段。常用濾波函式如下幾種

Ramp-Lak濾波器，它實際上是直接截斷V型濾波器高頻部分的結果，該濾波函式的特點是形式簡單．重建的影象輪廓清楚。缺點是由於在頻域中用矩形窗函式截斷了濾波函式，在相應的空域中會造成振盪響應．即Gibbs現象。

把Ramp-Lak濾波器與sin(x)/x進行卷積，就得到Shepp-Logan濾波器。用Shepp-Logan濾波器重建的影象中振盪相應較小，對含噪聲的資料重建出來的影象質量也較Ramp-Lak濾波函式要好。但是由於該濾波函式在高頻段偏離了理想的濾波函式|w|，因而重建影象在高頻段的響應不如R-L濾波函式。

其它常用濾波器還有Hamming濾波器，它是通過Ramp-Lak濾波器與Hamming窗進行卷積而得到。Hanning濾波器，它實際上是Ramp-Lak濾波器與Hanning窗進行卷積。

關於其他CT重建技術，請參考本人的上一篇文章