動態規劃之鋼條切割問題
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這一篇來討論一下關於動態規劃的一些問題。
動態規劃和分治方法類似，都是組合子問題的解來求解原問題，但是兩者不同的是分治方法將問題化為互不相交的子問題，遞迴的求解子問題，再將子問題的解組合起來求解原問題；而動態規劃應用於子問題重疊的情況，即不同的子問題有公共的子子問題。所以在這種情況下，分治方法會重複計算那些公共子問題，但是動態規劃對公共子問題只求解一次。
動態規劃通常來求解最優化問題，這類問題通常有多個可行解，我們希望尋找最優解，我們稱這樣的解為一個最優解，因為問題可能有多個最優解。我們通常按照下面4個步驟來設計演算法：
（1）、刻畫一個最優解的結構特徵；
（2）、遞迴的定義最優解的值；
（3）、計算最優解的值，通常採用自底向上的方法；
（4）、利用計算出的資訊構造一個最優解。
先來看第一個例子：鋼條切割問題
問題簡述：某公司購買長鋼條，希望將長鋼條切割成短鋼條出售，已知切割工序不耗費費用，下表給出了價格與長度的一個對應關係，現在希望得到一個最優的切割方案。
長度為n的鋼條有2^(n-1)種切割方案，因為在距離鋼條左端距離為i處，我們要麼切割要麼不切割，只有兩種方案。假設最優切割方案為k段，那麼最大的收益就是這k段效益的和。
為了求解原問題，首先求解形式相近，規模更小的子問題，即首次切割將長度為n的鋼條切割成長度為i和n-i的鋼條，再將這兩個鋼條看成相互獨立的問題切割，我們通過組合兩個問題的最優解，選取效益最大的構成原問題的解，這樣可以認為此問題滿足最優子結構性質：即原問題的最優解可以由子問題的最優解組成，而子問題可以獨立求解。
用上述思想求解，其實子問題是劃分為左、右兩部分進行的，當然可以有一種簡化的方法，即子問題只從右部分劃分進行，思路就是：將長度為n的鋼條劃分為長度為i的左部分和長度n-i的右部分，左半部分不在劃分，只是將右半部分繼續劃分。
下邊給出這種樸素遞迴方法的實現：
DataType Cut_Rod(DataType p[],int n)
{
if(n==0)
return 0;
DataType q=0;
for(int i=0;i<n;i++)
q=max(q,p[i]+Cut_Rod(p,n-i-1));
return q;
}此程式可以正確的求解問題的解，但問題是隨著資料的增大，執行時間會爆炸性的增長，原因就是程式重複的計算相同的子問題，可以看下圖這個樹結構理解：
上述遞迴樹結點的標號表示問題的規模，，根結點到子結點的邊表示切割方案，由於此演算法是由頂到底的遞迴，故此重複的計算了大量相同的子問題，可以證明花費的時間為2的n次方冪，這個執行時間是相當恐怖的，下邊我們考慮更高效的動態規劃演算法。設計演算法時可以考慮合理安排子問題順序，使得子問題只求解一次，並且將子問題的解儲存下來，等到後邊用到時再利用，相比原來演算法只是花了更多的記憶體，其實就是用空間換時間的思想。
有兩種實現方式：
（1）、帶備忘的自頂向下遞迴法：此方法和上述樸素方法遞迴方向是一樣的，但是區別就是會儲存子問題的解，當計運算元問題時首先檢視是否計算過此問題，如果計算過，則直接利用，否則，用常規方法計算。
//帶備忘的自頂向下遞迴
DataType Cut_Rod_upTodown(DataType p[],int n,DataType Subvalue[])
{
if(n==0)
return 0;
DataType q=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(Subvalue[n-i-1]==0)
{
q=max(q,p[i]+Cut_Rod_upTodown(p,n-i-1,Subvalue));
}
else
{
q=max(q,p[i]+Subvalue[n-i-1]);
}
}
return q;
}如果你的編譯器是gcc等，會可以直觀的看到執行時間的差別。
（2）、自底向上遞迴法：仔細看上邊的樸素演算法遞迴樹，自頂向下的遞迴可以看成樹從左半部分開始遞迴，但是我們考慮讓其從右半部分遞迴，即對子問題的求解依賴於規模更小的子問題的求解，我們可以把問題的規模從小到大排序，這樣程式的求解從更小的子問題開始，然後再去計算較大的子問題，這樣每個子問題只計算一遍。
//自底向上的演算法
DataType Cut_Rod_downToup(DataType p[],int n)
{
DataType value[5]={0};
for(int i=1;i<=n;i++)
{
DataType q=0;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
q=max(q,p[j]+value[i-j]);
}
value[i]=q;
}
return value[n];
}上述三個演算法解決了輸出效益的問題，但是如何輸出劃分方案呢？下邊進行一次重構解，將結果輸出：
//重構輸出解
void print_Cut_Rod_downToup(DataType p[],int n,DataType value[],int result[])
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
DataType q=0;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
if(q<(p[j]+value[i-j]))
{
q=p[j]+value[i-j];
result[i]=j;
}
}
value[i]=q;
}
}好了，這篇文章到此結束。
最後附上全部測試程式碼：（注意測試程式碼給出的問題的規模為4）
#include <iostream>
typedef int DataType;
using namespace std;
//樸素遞迴演算法
DataType Cut_Rod(DataType p[],int n)
{
if(n==0)
return 0;
DataType q=0;
for(int i=0;i<n;i++)
q=max(q,p[i]+Cut_Rod(p,n-i-1));
return q;
}
//帶備忘的自頂向下遞迴
DataType Cut_Rod_upTodown(DataType p[],int n,DataType Subvalue[])
{
if(n==0)
return 0;
DataType q=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(Subvalue[n-i-1]==0)
{
q=max(q,p[i]+Cut_Rod_upTodown(p,n-i-1,Subvalue));
}
else
{
q=max(q,p[i]+Subvalue[n-i-1]);
}
}
return q;
}
//自底向上的演算法
DataType Cut_Rod_downToup(DataType p[],int n)
{
DataType value[5]={0};
for(int i=1;i<=n;i++)
{
DataType q=0;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
q=max(q,p[j]+value[i-j]);
}
value[i]=q;
}
return value[n];
}
//重構輸出解
void print_Cut_Rod_downToup(DataType p[],int n,DataType value[],int result[])
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
DataType q=0;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
if(q<(p[j]+value[i-j]))
{
q=p[j]+value[i-j];
result[i]=j;
}
}
value[i]=q;
}
}
int main()
{
DataType p[10]={1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
//p1是演算法三的效益測試值，由於演算法的特殊性，故此第一項是0
DataType p1[11]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
DataType Subvalue[4]={0};
DataType value[5]={0};
int result[5]={0};
int n=4;
DataType Got1=Cut_Rod(p,n);
DataType Got2=Cut_Rod_upTodown(p,n,Subvalue);
DataType Got3=Cut_Rod_downToup(p1,n);
print_Cut_Rod_downToup(p1,n,value,result);
cout<<"長度為4的鋼條最大收益："<<"第一種："<<Got1<<endl<<"第二種："<<Got2<<endl<<"第三種："<<Got3<<endl;
cout<<"解的長度："<<endl;
for(int i=0;i<=n;i++)
cout<<result[i]<<endl;
return 0;
}