如何快速求解組合數 C(n,m) 取模

組合數取模，肯定要用到乘法逆元，像我這種蒟蒻，還不會。

但是我學到了一個更優秀的方法，不僅快速求解C(n,m)，而且還可以mod。

這需要用到質因數拆分：
我們知道Cmn=n!(n−m)!m!$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$。
那麼我們將n!轉化成質因數相乘的形式
Px11∗Px22∗...∗Pxkk$P_1^{x_1}\ast P_2^{x_2}\ast ...\ast P_k^{x_k}$
那麼(n-m)!就是
Py11∗Py22∗...∗Pykk$P_1^{y_1}\ast P_2^{y_2}\ast ...\ast P_k^{y_k}$
那麼m!就是
Pz11∗Pz22∗...∗Pzkk$P_1^{z_1}\ast P_2^{z_2}\ast ...\ast P_k^{z_k}$

然後三項相減得

然後快速冪一趟就出結果了，這樣子也不需要用到除法並且速度快。

但是我們要講x$x$,y$y$,z$z$求出來，那麼就需要一個函式：

int Get(int x,int y){//在x!中y這個因子出現的次數
    int sum=0;
    for(;x;x/=y) sum+=x/y;
    return sum;
}

完美解決問題
下面貼上完美的虛擬碼 （程式碼有點醜）

#define LL long long
int tt;//模數
void make_p(){//挖素數
 

    vis[0]=vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    if(!vis[i]){
        p[++tot]=i;
        for(int j=i*2;j<=MAXN;j+=i) vis[j]=1;
    }
}
LL qsm(LL a,LL b){//快速冪
    LL ans=1,w=a;
    for(;b;b>>=1,w=(w*w)%tt) if(b&1) ans=(ans*w)%tt;
    return ans;
}
LL Get(LL x,LL y){
    LL sum=0;
    for
 
(;x;x/=y) sum+=x/y;
    return sum;
}
LL C(int x,int y){
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=tot&&p[i]<=x;i++){
        int T=Get(x,p[i])-Get(x-y,p[i])-Get(y,p[i]);
        ans=(ans*qsm(p[i],T))%tt;
    } 
    return ans;
}
//因為我怕爆掉所以開long long