如何快速求解組合數 C(n,m) 取模

組合數取模,肯定要用到乘法逆元,像我這種蒟蒻,還不會。

但是我學到了一個更優秀的方法,不僅快速求解C(n,m),而且還可以mod。

這需要用到質因數拆分:
我們知道Cnm=n!(nm)!m!
那麼我們將n!轉化成質因數相乘的形式
P1x1P2x2...Pkxk
那麼(n-m)!就是
P1y1P2y2...Pkyk
那麼m!就是
P1z1P2z2...Pkzk

然後三項相減得
P1x1y1z1P2x2y2z2...Pkxkykzk

然後快速冪一趟就出結果了,這樣子也不需要用到除法並且速度快。

但是我們要講x,y,z求出來,那麼就需要一個函式:

int Get(int x,int y){//在x!中y這個因子出現的次數
    int sum=0;
    for(;x;x/=y) sum+=x/y;
    return sum;
}

完美解決問題
下面貼上完美的虛擬碼 (程式碼有點醜)

#define LL long long
int tt;//模數
void make_p(){//挖素數
    vis[0]=vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    if(!vis[i]){
        p[++tot]=i;
        for(int j=i*2;j<=MAXN;j+=i) vis[j]=1;
    }
}
LL qsm(LL a,LL b){//快速冪
    LL ans=1,w=a;
    for(;b;b>>=1,w=(w*w)%tt) if(b&1) ans=(ans*w)%tt;
    return ans;
}
LL Get(LL x,LL y){
    LL sum=0;
    for(;x;x/=y) sum+=x/y;
    return sum;
}
LL C(int x,int y){
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=tot&&p[i]<=x;i++){
        int T=Get(x,p[i])-Get(x-y,p[i])-Get(y,p[i]);
        ans=(ans*qsm(p[i],T))%tt;
    } 
    return ans;
}
//因為我怕爆掉所以開long long