謝謝大家，目前問題已經解決，出現在了系統版本上，Android 4.4以上的版本都不可以，所以在loadURl之前加上了判斷，程式碼如下：

//4.4版本以上無法儲存cookie，要是用程式碼去判斷，開啟第三方的cookie支援
// Allow third party cookies for Android Lollipop
if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.LOLLIPOP) {
mWebView = (WebView) view.findViewById(R.id.webview);
CookieManager cookieManager = CookieManager.getInstance();
cookieManager.setAcceptThirdPartyCookies(mWebView,true);
}