學習筆記——中國剩餘定理（CRT）

CRT在演算法競賽中算是一個比較重要的模組，他的基本形式如下：
給出n個式子：

x \equiv a_{1} m o d p_{1}

x \equiv a_{2} m o d p_{2}

x \equiv a_{3} m o d p_{3}

\dots

x \equiv a_{n} m o d p_{n}

求x的最小正整數解。（pi互質）
那麼如何求解x呢？
我們先考慮求解x的一個可行解

x_{0}

因為同餘的可加性，我們可以把

x_{0}

拆成

x_{0} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}

，每個

x_{i}

對應的式子為：

x_{i} \equiv a_{i} m o d p_{i}

對於不等於i的值j

x_{i} \equiv 0 m o d p_{j}

再由於同餘的可乘性，我們可以把x拆成

x = a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n}

，把式子改為：

x_{i} \equiv 1 m o d p_{i}

然後我們觀察每個

x_{i}

：對於每個

x_{i}

和不等於i的所有j，由於

x_{i} \equiv 0 m o d p_{j}

設所有p的乘積為P，那麼

x_{i}

一定是

\frac{P}{p_{i}}

的倍數，那麼我們可以把

x_{i}

改為

g (\frac{P}{p_{i}}) \equiv 1 m o d p_{i}

，通過這個式子可以看出g其實是

\frac{P}{p_{i}}

在模

p_{i}

意義下的逆元，

x_{i}

就可以求出來，

x_{0}

也就求出來了，

x_{0}

的公式為：

x_{0} = a_{1} * P_{1} * G_{1} + a_{2} * P_{2} * G_{2} + \dots + a n * P_{n} * G_{n}