定義

在數論中，對正整數n，尤拉函式是小於等於n的數中與n互質的數的數目。並且用符號φ(n)表示一個整數的尤拉函式。例如φ(8)=4。特殊的φ(1)=1。

一些尤拉函式的性質

性質一

對於一個質數n，φ(n)=n−1。
證明：
因為n是質數。

性質二

若n=pk，則φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1。
證明：
因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

性質三

當gcd(n,m)=1時，φ(nm)=φ(n)∗φ(m)
證明：
φ(n)是積性函式。

性質四

設n=pk11∗pk22...∗pkmm，則φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2

)∗...(1−1pm)
證明：
根據性質二

φ(n)=∏(pi−1)pki−1i(pi|n)=n∏(1−1p1)(直接把n提出來)
當然也可以用容斥的想法去理解。

性質五

尤拉定理：對於互質的整數a,m有aφ(m)≡1(modm)。
證明：
這小於n且與n互質的集合時Z，顯然|Z|=φ(n)，Z={p1,p2...pφ(n)}。
令集合S={a∗p1modn,a∗p2modn...a∗pφ(n)modn}。
因為：
1. 因為a與n互質，pi與n互質，所以a∗pi與n互質，所以a∗p1modn∈Z

2. 若i≠j，那麼a∗pimodn≠a∗pjmodn
反證：
假如a

∗pimodn=a∗pjmodn ，設a∗pi=ki∗n+b
那麼

a∗pi=ki∗n+b

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