作者：章華燕

編輯：趙一帆

1、機器學習中常見的損失函式

一般來說，我們在進行機器學習任務時，使用的每一個演算法都有一個目標函式，演算法便是對這個目標函式進行優化，特別是在分類或者回歸任務中，便是使用損失函式（Loss Function）作為其目標函式，又稱為代價函式(Cost Function)。損失函式是用來評價模型的預測值 Y_hat=f(X) 與真實值Y的不一致程度，它是一個非負實值函式。通常使用 L(Y,f(x))來表示損失函式，損失函式越小，模型的效能就越好。

設總有N個樣本的樣本集為(X,Y)=(xi,yi)，yi,i∈[1,N]為樣本i的真實值，yi_hat=f(xi)，i∈[1,N] 為樣本i的預測值，f 為分類或者回歸函式。 那麼總的損失函式為：

常見的損失函式 L(yi,yi_hat) 有以下幾種：

01

Zero-one Loss

Zero-one Loss即0-1損失，它是一種較為簡單的損失函式，如果預測值與目標值不相等，那麼為1，否則為0，即： 

該損失函式的意義就是，當預測錯誤時，損失函式值為1，預測正確時，損失函式值為0。該損失函式不考慮預測值和真實值的誤差程度，也就是隻要預測錯誤，預測錯誤差一點和差很多是一樣的。可以看出上述的定義太過嚴格，如果真實值為1，預測值為0.999，那麼預測應該正確，但是上述定義顯然是判定為預測錯誤，那麼可以進行改進為Perceptron Loss。

Perceptron Loss

02

Perceptron Loss即為感知損失。即：

其中t是一個超引數閾值，如在PLA(Perceptron Learning Algorithm,感知機演算法)中取t=0.5。

03

Hinge Loss

Hinge損失可以用來解決間隔最大化問題，如在SVM中解決幾何間隔最大化問題，其定義如下： 

Log Loss

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在使用似然函式最大化時，其形式是進行連乘，但是為了便於處理，一般會套上log，這樣便可以將連乘轉化為求和，由於log函式是單調遞增函式，因此不會改變優化結果。因此log型別的損失函式也是一種常見的損失函式，如在LR(Logistic Regression, 邏輯迴歸)中使用交叉熵(Cross Entropy)作為其損失函式。即： 

規定：

05

Square Loss

Square Loss即平方誤差，常用於迴歸中。即：

Absolute Loss

06

Absolute Loss即絕對值誤差，常用於迴歸中。即： 

07

Exponential Loss

Exponential Loss為指數誤差，常用於boosting演算法中，如AdaBoost。即： 

各損失函式圖形如下：

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2、正則

一般來說，對分類或者回歸模型進行評估時，需要使得模型在訓練資料上使得損失函式值最小，即使得經驗風險函式最小化，但是如果只考慮經驗風險(Empirical risk)，容易過擬合(詳細參見防止過擬合的一些方法)，因此還需要考慮模型的泛化能力，一般常用的方法便是在目標函式中加上正則項，由損失項(Loss term)加上正則項(Regularization term)構成結構風險(Structural risk)，那麼損失函式變為： 

其中λ是正則項超引數，常用的正則方法包括：L1正則與L2正則。

正則化方法是指在進行目標函式或代價函式優化時，在目標函式或代價函式後面加上一個正則項，一般有L1正則與L2正則等。

01

L1正則

L1正則是基於L1範數，即在目標函式後面加上引數的L1範數和項，即引數絕對值和與引數的積項，即： 

其中 C0 代表原始的代價函式，n是樣本的個數，λ就是正則項係數，權衡正則項與 C0 項的比重。後面那一項即為L1正則項。

在計算梯度時，w的梯度變為：

其中，sign是符號函式，那麼便使用下式對引數進行更新：

對於有些模型，如線性迴歸中（L1正則線性迴歸即為Lasso迴歸），常數項b的更新方程不包括正則項，即：

其中，梯度下降演算法中，α<0,β<0，而在梯度上升演算法中則相反。

從上式可以看出，當w為正時，更新後w會變小；當w為負時，更新後w會變大；因此L1正則項是為了使得那些原先處於零（即|w|≈0）附近的引數w往零移動，使得部分引數為零，從而降低模型的複雜度（模型的複雜度由引數決定），從而防止過擬合，提高模型的泛化能力。

其中，L1正則中有個問題，便是L1範數在0處不可導，即|w|在0處不可導，因此在w為0時，使用原來的未經正則化的更新方程來對w進行更新，即令sign(0)=0，這樣即： 

L2正則是基於L2範數，即在目標函式後面加上引數的L2範數和項，即引數的平方和與引數的積項，即： 

其中C0代表原始的代價函式，n是樣本的個數，與L1正則化項前面的引數不同的是，L2項的引數乘了12，是為了便於計算以及公式的美感性，因為平方項求導有個2，λ就是正則項係數，權衡正則項與C0項的比重。後面那一項即為L2正則項。

L2正則化中則使用下式對模型引數進行更新：

對於有些模型，如線性迴歸中（L2正則線性迴歸即為Ridge迴歸，嶺迴歸），常數項b的更新方程不包括正則項，即： 

其中，梯度下降演算法中，α<0,β<0，而在梯度上升演算法中則相反。

從上式可以看出，L2正則項起到使得引數w變小加劇的效果，但是為什麼可以防止過擬合呢？一個通俗的理解便是：更小的引數值w意味著模型的複雜度更低，對訓練資料的擬合剛剛好（奧卡姆剃刀），不會過分擬合訓練資料，從而使得不會過擬合，以提高模型的泛化能力。

在這裡需要提到的是，在對模型引數進行更新學習的時候，有兩種更新方式，mini-batch （部分增量更新）與 full-batch（全增量更新），即在每一次更新學習的過程中（一次迭代，即一次epoch），在mini-batch中進行分批處理，先使用一部分樣本進行更新，然後再使用一部分樣本進行更新。直到所有樣本都使用了，這次epoch的損失函式值則為所有mini batch的平均損失值。設每次mini batch中樣本個數為m，那麼引數的更新方程中的正則項要改成： 

而full-batch即每一次epoch中，使用全部的訓練樣本進行更新，那麼每次的損失函式值即為全部樣本的誤差之和。更新方程不變。

正則項是為了降低模型的複雜度，從而避免模型區過分擬合訓練資料，包括噪聲與異常點（outliers）。從另一個角度上來講，正則化即是假設模型引數服從先驗概率，即為模型引數新增先驗，只是不同的正則化方式的先驗分佈是不一樣的。這樣就規定了引數的分佈，使得模型的複雜度降低（試想一下，限定條件多了，是不是模型的複雜度降低了呢），這樣模型對於噪聲與異常點的抗干擾性的能力增強，從而提高模型的泛化能力。還有個解釋便是，從貝葉斯學派來看：加了先驗，在資料少的時候，先驗知識可以防止過擬合；從頻率學派來看：正則項限定了引數的取值，從而提高了模型的穩定性，而穩定性強的模型不會過擬合，即控制模型空間。

另外一個角度，過擬合從直觀上理解便是，在對訓練資料進行擬合時，需要照顧到每個點，從而使得擬合函式波動性非常大，即方差大。在某些小區間裡，函式值的變化性很劇烈，意味著函式在某些小區間裡的導數值的絕對值非常大，由於自變數的值在給定的訓練資料集中的一定的，因此只有係數足夠大，才能保證導數的絕對值足夠大。如下圖：

另外一個解釋，規則化項的引入，在訓練（最小化cost）的過程中，當某一維的特徵所對應的權重過大時，而此時模型的預測和真實資料之間距離很小，通過規則化項就可以使整體的cost取較大的值，從而，在訓練的過程中避免了去選擇那些某一維（或幾維）特徵的權重過大的情況，即過分依賴某一維（或幾維）的特徵。

L2與L1的區別在於，L1正則是拉普拉斯先驗，而L2正則則是高斯先驗。它們都是服從均值為0，協方差為1λ。當λ=0時，即沒有先驗）沒有正則項，則相當於先驗分佈具有無窮大的協方差，那麼這個先驗約束則會非常弱，模型為了擬合所有的訓練集資料， 引數w可以變得任意大從而使得模型不穩定，即方差大而偏差小。λ越大，標明先驗分佈協方差越小，偏差越大，模型越穩定。即，加入正則項是在偏差bias與方差variance之間做平衡tradeoff。下圖即為L2與L1正則的區別：

上圖中的模型是線性迴歸，有兩個特徵，要優化的引數分別是w1和w2，左圖的正則化是L2，右圖是L1。藍色線就是優化過程中遇到的等高線，一圈代表一個目標函式值，圓心就是樣本觀測值（假設一個樣本），半徑就是誤差值，受限條件就是紅色邊界（就是正則化那部分），二者相交處，才是最優引數。可見右邊的最優引數只可能在座標軸上，所以就會出現0權重引數，使得模型稀疏。

其實拉普拉斯分佈與高斯分佈是數學家從實驗中誤差服從什麼分佈研究中得來的。一般直觀上的認識是服從應該服從均值為0的對稱分佈，並且誤差大的頻率低，誤差小的頻率高，因此拉普拉斯使用拉普拉斯分佈對誤差的分佈進行擬合，如下圖：

而拉普拉斯在最高點，即自變數為0處不可導，因為不便於計算，於是高斯在這基礎上使用高斯分佈對其進行擬合，如下圖：

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