2395: [Balkan 2011]Timeismoney

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Description

 有n個城市(編號從0..n-1)，m條公路(雙向的)，從中選擇n-1條邊，使得任意的兩個城市能夠連通，一條邊需要的c的費用和t的時間，定義一個方案的權值v=n-1條邊的費用和*n-1條邊的時間和，你的任務是求一個方案使得v最小

Input

第一行兩個整數n,m,接下來每行四個整數a,b,c,t,表示有一條公路從城市a到城市b需要t時間和費用c
Output

【output】timeismoney.out
僅一行兩個整數sumc，sumt,（sumc表示使得v最小時的費用和，sumc表示最小的時間和） 如果存在多個解使得sumc*sumt相等，輸出sumc最小的
Sample Input

5 7

0 1 161 79

0 2 161 15

0 3 13 153

1 4 142 183

2 4 236 80

3 4 40 241

2 1 65 92

Sample Output

279 501

HINT

【資料規模】

1<=N<=200

1<=m<=10000

0<=a,b<=n-1

0<=t,c<=255

有5%的資料m=n-1

有40%的資料有t=c

對於100%的資料如上所述

最小乘積生成樹模板題。

最小乘積生成樹：
每條邊有兩個權值a[i].x,a[i].y，使得∑a[i].x∗∑a[i].y最小的生成樹是最小乘積生成樹。

我們把∑a[i].x看做橫座標x，∑a[i].y看做縱座標y，要求k=xy最小，即使得反比例函式y=kx最接近座標軸。

因此我們需要求出所有這些點構成的凸包的左下部分，從中找一個最大的。

怎麼求凸包的左下部分呢？
用分治法。

1.首先分別求出∑a[i].x最小的和∑a[i].y最小的點為A,B（這個就是普通的MST）,然後再求出離線段AB最遠的點C(靠近原點一側)；

2.然後遞迴下去分別求離AC，CB最遠的點。。。

3.最後整個左下凸包上的點就都求出來了。

如何求離線段AB最遠的C點呢？

離AB最遠的點C必然使得S△ABC最大，用叉積算面積，即讓AB→×AC→最小:

我們要讓前面那一部分最小，那麼把所有邊權賦值為a[k].x∗(A.y−B.y)+a[k].y∗(B.x−A.x)，然後求最小生成樹就把C點求出來了~

邊界就是AB→×AC→≥0。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,f[205];
struct edge
{
    int x,y,t,c;
    LL v;
}e[100005];
struct Point
{
    LL x,y;
}ans,A,B;
bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.v<b.v;
}
int Getfather(int x)
{
    return f[x]==x?x:f[x]=Getfather(f[x]);
}
Point Kruscal()
{
    Point p=(Point){0,0};
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=i;
    int now=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int fx=Getfather(e[i].x),fy=Getfather(e[i].y);
        if (fx==fy) continue;
        p.x+=e[i].c,p.y+=e[i].t;
        f[fx]=fy;
        now++;
        if (now==n) break;
    }
    if ((ans.x*ans.y==p.x*p.y&&p.x<ans.x)||ans.x*ans.y>p.x*p.y)
        ans=p;
    return p;
}
LL Cross(Point a,Point b,Point c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
void Solve(Point a,Point b)
{
    LL y=a.y-b.y,x=b.x-a.x;
    for (int i=1;i<=m;i++)
        e[i].v=1LL*e[i].c*y+1LL*e[i].t*x;
    Point p=Kruscal();
    if (Cross(p,a,b)>=0) return;
    Solve(a,p);
    Solve(p,b);
}
int main()
{
    ans.x=1e9,ans.y=1e9;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].c,&e[i].t),
        e[i].x++,e[i].y++,e[i].v=e[i].c;
    A=Kruscal();
    for (int i=1;i<=m;i++)
        e[i].v=e[i].t;
    B=Kruscal();
    Solve(A,B);
    printf("%lld %lld\n",ans.x,ans.y);
    return 0;
}