雙調序列

雙調序列(Bitonic Sequence)是指由一個非嚴格增序列X和非嚴格減序列Y構成的序列，比如序列（23,10,8,3,5,7,11,78）。

定義:一個序列a1,a2,…,an是雙調序列(Bitonic Sequence)，如果：
(1)存在一個ak(1≤k≤n), 使得a1≥…≥ak≤…≤an成立；或者
(2)序列能夠迴圈移位滿足條件(1)

Batcher定理

將任意一個長為2n的雙調序列A分為等長的兩半X和Y，將X中的元素與Y中的元素一一按原序比較，即a[i]與a[i+n] (i < n)比較，將較大者放入MAX序列，較小者放入MIN序列。則得到的MAX和MIN序列仍然是雙調序列，並且MAX序列中的任意一個元素不小於MIN序列中的任意一個元素。

Bitonic merge（雙調合並）

假設我們有一個雙調序列，則我們根據Batcher定理，將該序列劃分成2個雙調序列，然後繼續對每個雙調序列遞迴劃分，得到更短的雙調序列，直到得到的子序列長度為1為止。這時的輸出序列按單調遞增順序排列。

由於每次劃分後問題長度都會減半，故所需要的劃分次數為log n。

這個應用雙調劃分來對雙調序列進行排序的過程稱為Bitonic merge（雙調合並）。

合併一個有16個元素的雙調序列

雙調合併網絡

Bitonic Sort（雙調排序）

對於兩個元素x，y，如果x<=y，則x，y都位於雙調序列的遞增部分，而遞減部分沒有元素，如果x>=y，則x，y都位於雙調序列的遞減部分，而遞增部分沒有元素，於是x和y構成一個雙調序列。因此，任何無序的序列都是由若干個只有2個元素的雙調序列連線而成。

於是，對於一個無序序列，我們按照遞增和遞減順序合併相鄰的雙調序列，按照雙調序列的定義，通過連線遞增和遞減序列得到的序列是雙調的。最終，我們可以將若干個只有2個元素的雙調序列合併成1個有n個元素的雙調序列。

將無序的輸入序列轉換成雙調序列

如上圖，最終再對得到的雙調序列進行一次雙調合並，即可得到有序序列。

這是今天學到的雙調排序的一些基礎知識。雙調排序多用於平行計算，有空我再針對並行設計總結一下~