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《數論概論》讀書筆記(第一章) 什麼是數論?

數論是純粹數學的分支之一,主要研究整數的性質。

整數可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函式(像黎曼ζ函式)中包括了一些整數、質數的性質,透過這些函式也可以瞭解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係,並且用有理數來逼近實數(丟番圖逼近)。

按研究方法來看,數論大致可分為初等數論和高等數論。初等數論是用初等方法研究的數論,它的研究方法本質上說,就是利用整數環的整除性質,主要包括整除理論、同餘理論、連分數理論。高等數論則包括了更為深刻的數學研究工具。它大致包括代數數論、解析數論、計算數論等等。

初等數論
初等數論主要就是研究整數環的整除理論及同餘理論。此外它也包括了連分數理論

少許不定方程的問題。本質上說,初等數論的研究手段侷限在整除性質上。
初等數論中經典的結論包括算術基本定理、歐幾里得的質數無限證明、中國剩餘定理、尤拉定理(其特例是費馬小定理)、高斯的二次互反律, 勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數求解法等等。

還有,解析數論,代數數論,幾何數論,計算數論,超越數論,組合數論,算術代數幾何。不作一一解釋了。

猜想:
●哥德巴赫猜想:是否每個大於2的偶數都可寫成兩個質數之和?
●孿生素數猜想:孿生素數就是差為2的素數對,例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數?
●斐波那契數列內是否存在無窮多的素數?
●是否存在無窮多的梅森素數?(指形如2^p-1的正整數,其中指數p是素數,常記為M_p 。若M_p是素數,則稱為梅森素數)
●1995年懷爾斯和理查·泰勒證明了歷時350年的費馬猜想(費馬大定理)。
●黎曼猜想


習題: 1.1,三角平方數:0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025,...... 三角平方數通項: 肯定有無窮多個啊。具體看Wiki:點選開啟連結 1.2 1+3+5+....+(2n+1)=n^2. 用幾何圖形來證明? 這樣?
1.3.  關於形如(p,p+2,p+4)素數三元組的問題。
顯然只存在一個(3,5,7)。

證明如下:

假設 p mod 3=1。

則(p+2) mod 3=0 不滿足素數條件。

假設p mod 3=2。

則(p+4) mod 3=0不滿足素數條件。

除非本身p+2或p+4或p就是3。

那麼就是(3,5,7)這個情況。
所以顯然只有一種情況。(3,5,7)。 1.4 顯然,對於N^2-A。當A為平方數時,N^2-A=(N-a)*(N-a),其中a*a=A. 所以當A是平方數時,N^2-A肯定不是素數。 1.5 1+2+3+4+5+....+n=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+.....=(1+n)+(1+n)+(1+n)+....+(1+n)=n/2*(1+n). 如果是偶數,可以完全匹配完,那麼項數就是n/2。
如果是奇數,會留一個,這個數是(n+1)/2。剩下的n+1有(n-1)/2個,那麼再加上這半個,那麼就是n/2個。
所以不管是奇數還是偶數,結果都是n/2個。