前言

最近學了些數論函式，有了一些小小小小的套路經驗
強烈推薦以下幾個部落格
數論函式變換總結
金策大佬
超詳細 課件

狄利克雷卷積

定義：(f×g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)$(f\times g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$
方便表示出一些推導過程
隨之而來的是數論的一大波函式
e(n)=[n=1]$e(n)=[n=1]$
id(n)=n$id(n)=n$
1(n)=1$1(n)=1$
d(n)=∑d|n1$d(n)=\sum _{d|n}1$ （約數個數）
σ(n)=∑d|nd$\sigma (n)=\sum _{d|n}d$
....$....$

一些數論函式的常見性質

• ∑d|nϕ(d)=n$\sum _d$
  |nϕ(d)=n 也就是 id=ϕ×1$id=\varphi \times 1$
• ∑d|nμ(d)=[n=1]$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$ 也就是 e=μ×1$e=\mu \times 1$

• d(nm)=∑i|n∑j|m[gcd(i,j)=1]$d(nm)=\sum _{i|n}\sum _{j|m}[gcd(i,j)=1]$

  單用這幾個性質，就已經能解決不少問題了
  同時分享一些小套路

Q1

分析過後會發現每個點(i,j)$(i,j)$的權值為 gcd(i,j)∗2−1$gcd(i,j)\ast 2-1$
那麼關鍵就是求 ∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)$
求某個數的和，考慮第一個性質（每個數都可以被它的所有約數表示出來） Bu

t$But$ why??$why??$
因為gcd太特殊，沒什麼規律，但gcd的約數就是i, j 的所有約數
根據這一點化式子 (小套路)
∑i=1n∑j=1m∑d|i,jϕ(d)$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|i,j}\varphi (d)$
變換列舉順序（重要小套路）(n≤m$n\le m$, 以下都是整除)
∑d=1n∑i=1nd∑j=1mdϕ(d)$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}\varphi (d)$
這麼多西格瑪算的其實是一個值，所以再化簡
∑d=1nϕ(d)∗nd∗md

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