這是前一段時間寫的部落格，然後又重新整理了一下

• 最速下降法
• 牛頓法
• 擬牛頓法
• SR1
• BFGS
• DFP
• LBFGS

【最速下降法】

無約束最優化方法不涉及約束條件，所以都是介紹如何尋找搜尋方向以及搜尋步長。
無約束最優化問題的目標函式：

minx∈Rnf(x)
感覺這latex還是有些彆扭，稍不留意就直接當做字元處理了。
還是首先介紹一下梯度下降，梯度下降學過優化的都很清楚，一般叫最速下降法，這個方法有兩點，首先是x更新的方向是負梯度方向，第二個是沿著該方向搜尋，找到該方向的最小值所對應的x就是下次更新的值。梯度下降是最簡單的一種方法，但是很多情況下卻並不使用這種方法，原因是收斂速率比較慢，問題出在第二步上，由於搜尋搜尋時一直打到該方向的最小值，那麼很顯然，繼續沿著該方向搜尋會使函式值變小，函式梯度與搜尋方向夾角大於九十度，所以該點的梯度和搜尋方向在此時正交，這樣相鄰搜尋點的梯度就會呈現鋸齒狀，函式沿著鋸齒狀下降，嚴重降低目標函式的收斂速率。
梯度下降的遞推公式推導是根據函式的一階泰勒展開近似得到的。將f

(x)在x(k)附近進行一階泰勒展開：
f(x)≈f(x(k))+gTk(x−x(k))
這裡,gk=g(x(k))=∇f(x(k))為f(x)在x(k)的梯度。
那麼第k+1次的迭代值就可以通過：
x(k+1)←x(k)+λkpk.
其中pk是搜尋方向，取負梯度方向pk=−∇f(x(k))可以使函式下降最快，λk是步長，並且取λk使得
f(x(k)+λkpk)=minλ≥0f(x(k)+λpk)
最速下降法就是這樣，不斷地尋找搜尋方向以及確定搜尋步長，直到達到終止條件，相鄰函式值相遇某個閾值或是x(k)和x(k+1)小於某個閾值。但是產生的問題就是最速下降在接近終點的時候收斂速度較慢，容易之字形收斂。當然步長也不必是取該方向下降盡頭的值，可以取固定值，但是太大容易發散，太小收斂速率比較慢。
關於隨機梯度下降法與批量下降法，大多數用梯度下降是求無約束目標函式，例如求經驗損失最小時函式的引數，含有大量的訓練資料。批量下降法是同時使用所有資料對梯度進行更新，很顯然需要好多次迭代。隨機梯度下降是每次只使用一個數據對函式引數進行更新，這樣往往只通過一部分資料更新引數就會收斂，但是由於每次根據一個數據跟新，容易造成噪音問題。

【牛頓法】

由於最速梯度下降收斂速度並不“最速”，區域性搜尋中最速下降的方向和全域性的最小值方向並不一致，所以就有後來改進的方法，包括牛頓法以及擬牛頓法。
牛頓法要求f(x)具有二階連續可導性。
仍然考慮無約束最優化問題的目標函式：

minx∈Rf(x)
這裡所不同的是進行二階泰勒展開：
f(x)≈f(x(k))+gTk(x−x(k))+12(x−x(k))TH(x(k))(x−x(k))
這裡,gk=g(x(k))=∇f(x(k))為f(x)在x(k)的梯度。H(x(k))是f(x) 的海塞矩陣
H(x)=[∂2f(x)∂xi∂xj]n×n
顯然，f

(x)有極值的條件是在xk處的一階導數為0，

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