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PS：我學這個的時候，應用其實是非常簡單的，先把x1和x2求出來，然後把已知的序列中的某兩項帶入求出A和B的值，那麼通項公式就求出來嘞。
雖然證明看起來式子很多，但其實認真讀一下就好啦。

前言

特徵方程應該是大學裡的內容，但最近做題的時候遇到了，就想把我的一點心得和大家分享一下。
但由於鄙人水平有限，故以下只討論二階常係數線性齊次遞推式。

問題

已知$f(n)=c1*f(n-1)+c2*f(n-2)$（$c1,c2$是常數），已知$f(0)$和$f(1)$

，求$f(n)$的通項公式。

結論

先求出上面遞推式的特徵方程：$x^2-c1*x-c2=0$。設兩根分別為$x1,x2$。
若$x1\neq x2$，則$f(n)=A*x1^n+B*x2^n$；
若$x1=x2$，則$f(n)=(A+B*n)*x1^n$。（A和B可通過$f(0)$和$f(1)$求出）

例題

已知$f\left(n\right)=4f(n-1)-3f\left(n\right)$

f(n)=4f(n-1)-3f(n)，$f(0)=3$，$f(1)=5$，求$f(n)$的通項公式。
解：
特徵方程為：$x^2-4x+3=0$
$x1=1,x2=3$
$\because x1\neq x2$
$\therefore f(n)=A+B*3^n$
當n=0時，$3=A+B$；當n=1時，$5=A+3B$
解得$A=2,B=1$
$\therefore f(n)=3^n+2$

證明

我們可以把遞推式轉化成一個類似等比數列的東西。
設$f(n)-r*f(n-1)=s(f(n-1)-r*f(n-2))$，則$f(n)=(s+r)*f(n-1)-r*s*f(n-2)$
可得$s+r=c1,s*r=-c2$
根據韋達定理，s和r是$x^2-c1*x-c2=0$的兩根
$x^2-c1*x-c2=0$稱為該遞推式的特徵方程，兩根分別為$x1,x2$
不妨設$x1=r,x2=s$，則$\frac{f(n)-x1*f(n-1)}{f(n-1)-x1*f(n-2)}=x2$
設$f(1)-x1*f(0)=a$
則$f(2)-x1*f(1)=a*x2$
……
$f(n-2)-x1*f(n-3)=a*x2^{n-3}$①
$f(n-1)-x1*f(n-2)=a*x2^{n-2}$②
$f(n)-x1*f(n-1)=a*x2^{n-1}$③
③+$x1*$②得：$f(n)-x1^2*f(n-2)=a*x2^{n-1}+a*x1*x2^{n-2}$④
④+$x1^2*$①得：$f(n)-x1^3*f(n-3)=a*x2^{n-1}+a*x1*x2^{n-2}+a*x1^2*x2^{n-3}$
發現規律了嗎？

$f(n)-x1^n*f(0)=a*(x2^{n-1}+x1*x2^{n-2}+x1^2*x2^{n-3}+……+x1^{n-2}*x2+x1^{n-1})$
=$a*\sum_{i=1}^n({x1^{n-1}*(\frac{x2}{x1})^{i-1}})$
$\sum_{i=1}^n({x1^{n-1}*(\frac{x2}{x1})^{i-1}})$可以看成是以$x1^{n-1}$為首項，$\frac{x2}{x1}$為公比的等比數列的前n項的和

在運用等比數列求和公式之前一定要討論公比是否為1，接下來開始討論：
1.當$x1\neq x2$時：$\sum_{i=1}^n({x1^{n-1}*(\frac{x2}{x1})^{i-1}})$

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