1.漸進符號

1. Θ符號，f(n) = Θ(g(n))，表示f(n)的複雜度既大於等於*g(n)的複雜度，又小於等於g(n)的複雜度，即於g(n)的複雜度相當*。
2. O符號，f(n) = O(g(n))，表示f(n)的複雜度最多與g(n)一個數量級，即小於等於。

3. Ω符號，f(n) = Ω(g(n))，f(n)的複雜度最少與g(n)一個數量級，即大於等於。
   

4. o符號，f(n) = o(g(n))，表示f(n)的複雜度要比g(n)的數量級小，即小於。
   例如2n = o(n^2) ,但是2n^2 != o(n^2)

5. ω符號，f(n) = ω(g(n))，表示f(n)的複雜度要比g(n)的數量級大，即大於
   。

2.遞迴式

演算法設計中經常會用到遞迴，利用遞迴式的方法可以清晰地顯示演算法的整個過程，而對於分析演算法的複雜度，解遞迴式就有了用處。

1. 代換法

利用數學歸納法證明遞迴式的時間複雜度是否符合上界或下界。
例如 T(n)= 4T(n/2) +n ， [T(1) = O(1)]

 假設T(k) ≤ ck^3 (k<n) ，帶入上面遞迴式，得到
 T(n) ≤ 4c(n/2)^3 + n = 1/2cn^3+n = cn^3-(1/2cn3-n)≤cn^3

這樣就得到了一個上界O(n^3)。

假設T(k) ≤ ck^2 (k<n) ，帶入上面遞迴式，得到
T
 
(n) ≤ 4c(n/2)^2 + n =cn^2+n= cn^2-(-n) 

因此這裡無法得到T(n) ≤cn^2，也就是說O(n^2)不是T（n）的上界。

2. 遞迴樹

在遞迴樹中，每一個結點都代表一個子代價，每層的代價是該層所有子代價的總和，總問題的代價就是所有層的代價總和。
所以，我們利用遞迴樹求解代價，需要知道，一個是每一層的代價，一個是樹的高度。
如下面的例子所示：

得最後的Θ（n）= n^2。

3.主定理方法

主定理方法的證明

如下圖所示，最後的葉節點數量為 a^(logbn) = n^(logba),因此O(n)的取值和f(n)以及葉節點數量有關。

1，整個遞迴樹的權重從根節點到葉節點一直增加，所以整個遞迴樹的權重主要在葉子節點上；

2，(k = 0)遞迴樹每層的權重大致相同，總共h層，所以整個遞迴樹的權重將各層的權重加起來即可；

3，則與CASE 1的情況正好相反，所以整個遞迴樹的權重主要在根節點上。