Karatsuba 快速乘積演算法是具有獨特合併過程（combine/merge）的分治演算法（Karatsuba 是俄羅斯人）。此演算法主要是對兩個整數進行相乘，並不適用於低位數（如 int 的 32 位的整數）。

1. 大整數乘法的實現

所謂的大整數，就是超出程式語言關於 integral 型別的最大值的那些位數很大的數，也即如果用這些型別進行儲存的話，會造成數值溢位（arithmetic overflow），此時可以使用 vector<int> 逐位儲存這些數。

執行兩數的乘法的方法就是我們小學學乘法時所採用的方式，normalize 負責處理每一位上的進位情況。

void normalize(vector<int>& c){
    for (int i = 0; i < c.size()-1; ++i){
        c[i+1] += c[i]/10;
        c[i] %= 10;
    }
}

vector<int> multiply(const vector<int>& a, const vector<int>& b){
    vector<int> c(a.size()+b.size(), 0);
    for (int i = 0; i < a.size(); ++i){
        for
 
 (int j = 0; j < b.size(); ++j){
            c[i+j] += a[i]*b[j];
        }
    }
    normalize(c);
    return c;
}

2. Karatsuba 快速演算法

Karatsuba 快速乘積演算法首先將兩個整數分別一分為二。例如，a 和 b 各位 256 位的整數，那麼使用 a1 和 b1 儲存前 128 為，而 a0 和 b0 中儲存後 128 位。分割後，a 和 b 可寫成如下的形式。

所以將 a×b 分割成四項式有如下等式：

首先根據 z0=a0⋅b0,z2=a1⋅b1 計算 z0,z1，然後利用以下等式：

• z2 = a1 * b1
• z0 = a0 * b0
• z1 = (a0 + b0)(a1 + b1)-z2-z0