數字梯形問題

Description

給定一個由 n 行數字組成的數字梯形如下圖所示。梯形的第一行有 m 個數字。從梯形的頂部的 m 個數字開始，在每個數字處可以沿左下或右下方向移動，形成一條從梯形的頂至底的路徑。
規則 1：從梯形的頂至底的 m條路徑互不相交。
規則 2：從梯形的頂至底的 m條路徑僅在數字結點處相交。
規則 3：從梯形的頂至底的 m條路徑允許在數字結點相交或邊相交。

對於給定的數字梯形，分別按照規則 1，規則 2，和規則 3 計算出從梯形的頂至底的 m 條路徑，使這 m條路徑經過的數字總和最大。

Input

第 1 行中有 2 個正整數 m和 n（m,n<=20），分別表示數字梯形的第一行有 m 個數字，共有 n 行。接下來的 n 行是數字梯形中各行的數字。第 1 行有 m個數字，第 2 行有 m+1 個數字，…。

Output

輸出按照規則 1，規則 2，和規則 3 計算出的最大數字總和。
每行一個最大總和。

Sample Input

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

Sample Output

66
75
77

題解

規則(1)
把梯形中每個位置抽象為兩個點<i.a>,<i.b>，建立附加源S匯T。
1、對於每個點i從<i.a>到<i.b>連線一條容量為1，費用為點i權值的有向邊。
2、從S向梯形頂層每個<i.a>連一條容量為1，費用為0的有向邊。
3、從梯形底層每個<

規則(2)
把梯形中每個位置看做一個點i，建立附加源S匯T。
1、從S向梯形頂層每個i連一條容量為1，費用為0的有向邊。
2、從梯形底層每個i向T連一條容量為無窮大，費用為i的權值的有向邊。
3、對於每個點i和下面的兩個點j，分別連一條從i到j容量為1，費用為點i權值的有向邊。
求最大費用最大流，費用流值就是結果。

規則(3)
把梯形中每個位置看做一個點i，建立附加源S匯T。
1、從S向梯形頂層每個i連一條容量為1，費用為0的有向邊。
2、從梯形底層每個i向T連一條容量為無窮大，費用為i的權值的有向邊。
3、對於每個點i和下面的兩個點j，分別連一條從i到j容量為無窮大，費用為點i權值的有向邊。
求最大費用最大流，費用流值就是結果。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1000 * 2 + 10, M = 1000000 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;

struct Edge{
    int fr, to, cap, flow, cost;
}edg[M];
int hd[N], nxt[M], tot;
int s, t;
int q[N], inq[N], d[N], p[N], a[N];
int n, m, mp[50][50];
void insert(int u, int v, int w, int x){
    edg[tot].fr = u, edg[tot].to = v, edg[tot].cap = w, edg[tot].flow = 0, edg[tot].cost = x;
    nxt[tot] = hd[u]; hd[u] = tot;
    tot++;
    edg[tot].fr = v, edg[tot].to = u, edg[tot].cap = 0, edg[tot].flow = 0, edg[tot].cost = -x;
    nxt[tot] = hd[v]; hd[v] = tot;
    tot++;
}
bool spfa(int &fl, int &cst){
    for(int i = s; i <= t; i++) d[i] = -inf;
    int head = 0, tail = 1;
    q[0] = s; inq[s] = 1;
    d[s] = 0; p[s] = 0; a[s] = inf;
    while(head != tail){
        int u = q[head++]; if(head == 2001) head = 0;
        inq[u] = 0;
        for(int i = hd[u]; i >= 0; i = nxt[i]){
            Edge &e = edg[i];
            if(e.cap > e.flow && d[e.to] < d[u] + e.cost){
                d[e.to] = d[u] + e.cost;
                p[e.to] = i;
                a[e.to] = min(a[u], e.cap - e.flow);
                if(!inq[e.to]){
                    q[tail++] = e.to; if(tail == 2001) tail = 0;
                    inq[e.to] = 1;
                }
            }
        }
    }
    if(d[t] == -inf) return false;
    fl += a[t];
    cst += a[t] * d[t];
    int u = t;
    while(u != s){
        edg[p[u]].flow += a[t];
        edg[p[u]^1].flow -= a[t];
        u = edg[p[u]].fr;
    }
    return true;
}
int maxflow(){
    int flow = 0, cost = 0;
    while(spfa(flow, cost));
    return cost;
}
void init(){
    scanf("%d%d", &m, &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++)
            scanf("%d", &mp[i][j]);
}
int get(int i, int j){
    return (m + m + i - 2) * (i - 1) / 2 + j;
}
void work1(){
    int num = get(n, n + m - 1);
    s = 0, t = num * 2 + 1;
    memset(hd, -1, sizeof(hd));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++){
        insert(get(i, j), num + get(i, j), 1, mp[i][j]);
        if(i < n){
            insert(num + get(i, j), get(i+1, j), 1, 0);
            insert(num + get(i, j), get(i+1, j+1), 1, 0);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        insert(s, i, 1, 0);
    for(int i = 1; i <= n + m -1; i++)
        insert(num + get(n, i), t, 1, 0);
    printf("%d\n", maxflow());
}
void work2(){
    memset(hd, -1, sizeof(hd));
    memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
    tot = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        insert(s, i, 1, 0);
    for(int i = 1; i <= n + m - 1; i++)
        insert(get(n, i), t, inf, mp[n][i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++)
        if(i < n){
            insert(get(i, j), get(i+1, j), 1, mp[i][j]);
            insert(get(i, j), get(i+1, j+1), 1, mp[i][j]);
        }
    printf("%d\n", maxflow());
}
void work3(){
    memset(hd, -1, sizeof(hd));
    memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
    tot = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        insert(s, i, 1, 0);
    for(int i = 1; i <= n + m - 1; i++)
        insert(get(n, i), t, inf, mp[n][i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++)
        if(i < n){
            insert(get(i, j), get(i+1, j), inf, mp[i][j]);
            insert(get(i, j), get(i+1, j+1), inf, mp[i][j]);
        }
    printf("%d\n", maxflow());
}
int main(){
    freopen("prog816.in", "r", stdin);
    freopen("prog816.out", "w", stdout);
    init();
    work1();
    work2();
    work3();
    return 0;
}