《離散時間訊號處理學習筆記》—離散時間訊號與系統（一）
注：本部落格是基於奧本海姆《離散時間訊號處理》第三版編寫，主要是為了自己學習的複習與加深。
1、在訊號的數學表示式中，獨立變數可以是連續的，也可以是離散的。
1）、連續時間訊號時定義在一個連續時間域上，可用一個連續獨立變數來表示。連續時間訊號常常又稱作模擬訊號。
2）、離散時間訊號時定義在離散時刻上的，這樣獨立變數便具有離散值，也就是說，離散時間訊號表示成數值的序列。
3）、除了獨立變數可以使連續的或離散的之外，訊號幅度也可以是連續的或者離散的。
2、訊號處理系統的分類
1）、連續時間系統是指其輸入/輸出都是連續時間訊號的系統。
2）、離散時間系統都是其輸入/輸出都是離散時間訊號的系統。
一、離散時間訊號
1、離散時間訊號在數學上表示成數的序列。
1）、一個序列x，其中序列的第n個數記作x[n]，正規地可寫作
適式中n為整數。
2）、尚需序列可以通過週期取樣一個模擬訊號xa(t)來得到，這樣一來，序列中的第n個數的數值就等於模擬訊號xa(t)在時刻nT處的值，即
2、離散時間訊號常常可以用下圖表示
圖中橫座標雖然畫的是一條連續線，但重要的時要知道x[n]僅僅在n為整數值時才有定義，認為x[n]在n不為整數時就是零時不正確的；x[n]在n為非整數時只是無定義。
3、基本序列
1）、單位樣本序列
在離散時間時間訊號與系統中單位贗本序列所引起的作用就如同單位衝激函式
單位樣本序列的一個重要作用就是任何虛列都可以用一組幅度加權和延遲的單位樣本序列的和來表示。
2）、單位階躍序列
單位階躍序列與單位樣本序列的關係是
即單位階躍序列在n時刻點的值就等於在n點及該點以前全部的單位樣本值得累加和。其圖示如下
利用單位樣本序列表示單位階躍的另一種形式是將單位階躍看作是一組延遲的單位樣本序列之和，如式(2.5)，即
反之，單位樣本序列也可以表示成單位階躍序列的一階後向差分，即
3）、指數序列
I、如果A和α都是實數，則序列為實序列。如果0<α<1，A為正值，那麼序列值為正，且隨n增加而增加。對於-1<α<0，則序列值正負交替變化，但在幅度上仍然隨n增加而減少。如果|α|>1，那麼序列在幅度上就會隨n增加而增加。
II、α為複數的指數序列Aαn，其實實部和虛部都是指數加權的正弦序列。具體的說，如果α=
若|α|>1，則該序列的包絡按指數增長；若|α|<1，則包絡按指數衰減。當|α|=1，該序列具有如下的形式
二、離散時間系統
1、在數學上，一個離散時間系統可以定義一種變換或運算元，它把值為x[n]的輸入序列對映為值y[n]的輸出序列，可以記作
並可用下圖表示。
一）、無記憶系統
1、如果在每一個n值上的輸出y[n]只決定於同一n值得輸入x[n]，那麼就說該系統是無記憶的。
二）、線性系統
1、線性系統由疊加原理來定義。如果y1[n]和y2[n]分別是輸入x1[n]和x2[n]時某一系統的響應，那麼當且僅當下式成立時，該系統就是線性的；
和
始終a為任意常數。
1）、上式的第一個形式稱為可加性。
2）、第二個性質稱為齊次性或比例性
上述兩個性質結合在一起就稱為疊加原理，寫成
上式對任意a和b都成立。該死還可以推廣到多個輸入的疊加。具體地說，如果
那麼一個西耐性系統的輸出一定是
式中yk[n]就是系統對輸入xk[n]的響應。
三）、時不變系統
1、時不變系統是輸入序列的移位或延遲將引起輸出序列的響應的移位或延遲。具體的說，假設一個系統將值為x[n]的輸入序列變換成y[n]的輸出序列，這個系統如果說是時不變的，則對所有n0，值為x1[n]=x[n=n0]的輸入序列將產生值為y1[n]=y[n-n0]的輸出序列。
四）、因果性
如果對每一個選取的n0，輸出序列在n=n0的值僅僅取決於輸入序列在n≤n0的值，則該系統就是因果。這意味著，如果x1[n]=x2[n]，n≤n0，則有y1[n]=y2[n]，n≤n0；也就是說，該系統是不可預知的。
五）、穩定性
1、當且僅當每一個有界的輸入序列都長身一個有界的輸出序列式，澤高系統在有界輸入有界輸出(BIBO)意義下式穩定的。如果存在某個固定的有限整數B，使下式成立；
則輸入x[n]就是有界的。穩定性要求對每一個有界的輸入，都存在一個固定的有界整數B，使下式成立：
2、特別強調的是，此定義的這些性質是系統的性質，而不是輸入對某個系統的性質。這就是說，有可能找到一些輸入，對這些輸入浙西性質成立；但是，對某些輸入存在著某個性質，並不意味著系統就有這一性質。具有這一性質的系統必須對所有輸入都成立。
三、線性時不變系統
1、如果hk[n]是系統對發生在n=k的單位樣本序列
上式結果表明，如果已知全部n對應的序列x[n]和h[n]，就有可能利用式(2.49)求出輸出序列y[n]的每個樣本。從這個意義上來說，一個線性時不變系統可以完全由它的單位脈衝響應h[n]來表徵。上式一般稱為卷積和，並用如下操作符表示；
離散時間卷積運算利用兩個序列x[n]和h[n]產生第三個序列y[n]。
2、卷積公式解釋
1）、在n=k的輸入樣本
2）、作為公式來計算輸出序列的單個值時，式(2.49)之處：y[n](也就是輸出中的第n個值)是由輸入系列(表示成k的函式)乘以某值為h[n-k]的序列，-∞<n<+∞，然後對任意一個固定的n值，將全部成績x[k]h[n-k]加起來而得到的，這裡k是一個在求和過程中級數的標號。
3、為了實現離散時間卷積，把兩個序列x[k]和h[n-k](-∞<n<+∞)相這一計算相乘，在將其成績相加，就能計算出輸出樣本y[n]。為了求出另一個輸出樣本，序列h[n-k]的原點就要移到這個新的樣本位置上，並重覆上述過程。這一計算步驟既能用於取樣資料的數值計算，也能用於其樣本值時用一個簡單公式表示的序列的解析計算。
四、線性時不變系統的性質
1、交換律
2、分配律
3、結合律
y[n]=(x[n]*h1[n])*h2[n]=x[n]*(h1[n]*h2[n])
4、穩定性
一個穩定系統就是每個有界輸入均產生一個有界輸出的系統。當且僅當單位脈衝響應是絕對可加的，LTI系統才是穩定的，即
5、因果性
因果性意味著對線性時不變系統的因果性，下屬條件成立：
有時也將n<0時其值為零的序列稱為因果序列，它也說明因果序列可以作為因果系統的單位脈衝響應。
五、線性常係數差分方程
1、線性時不變系統中的一種重要的子系統是由這樣一些系統組成的，這些系統的輸入x[n]和輸出y[n]滿足N階線性常係數差分方程，其形式為
2、如同連續時間系統的線性常係數微分方程一樣，lisanongoing的線性常係數差分方程若不給出附加的限制或資訊，是不能給出對出對給定輸入輸入情況下輸出的唯一表述的。具體地說，假設對某一給定的輸入xp[n]。已經一句某種方法確定了輸出序列yp[n]滿足線性常係數差分方程，那麼在同一輸入下，同一方程也能被任何一種具有如下形式的輸出所滿足；
始終yp[n]是當x[n]=0時的任意解，即下列方程的解；
上式稱為齊次差分方程，而yh[n]稱為齊次解。
3、如果一個系統是由一個線性常係數差分方程所表徵的，並且進一步限定是線性。時不變和因果的，那麼它的解就是唯一的。在這種情況下，輔助條件就玩玩說成是初始鬆弛條件，換言之，輔助資訊就是：如果輸入x[n]在n小於某個n0時為零，那麼在n小於n0時輸出y[n]就一定要限制到零，這樣就為n≥n0利用下式
遞推第求出y[n]提供了足夠的初始條件。
4、對於一個系統，其輸入和輸出不是唯一的，需要一些輔助資訊；
1）、對於一個給定的輸入，其輸出不是唯一的，需要一些輔助資訊或條件。
2）、如果輔助資訊是以N個順序輸出值的形式給出的，則後面的值可以將差分方程重新安排成以n的前項運算的遞推關係來求出；前面的值可以將差分方程安排成以n的後向運算的遞推關係來求出。
3）、系統的線性、時不變和因果性將依賴輔助條件，如果一個附加條件是使系統初始鬆弛的，則該系統就是線性、時不變和因果的。
以上討論假設都假設N≥1.若果N=0，就不要遞推而用差分方程來計算出，因此也不要求任何輔助條件，這就是
上式是一種軍妓形式，令
或
