一、積分的概念

積分（integral）的幾何意義是函式的曲線上 $x$ 的一段區間與 $x$ 軸圍成的曲邊梯形的面積：
這裡寫圖片描述
$x$ 的區間為 $[a, b]$ ，那麼上圖陰影面積為：

\int_{a}^{b} f (x) d x

計算方法一：分割成無窮多個小區間。

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} f (a + \frac{b - a}{n} i)

計算方法二：牛頓-萊布尼茨公式。
若

F^{'} (x) = f (x)

，那麼

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

如果容易求出

n

趨近於無窮大時

f

的和，可以使用方法一，如

f (x) = x^{2}

。
而這時

f (x) = \frac{1}{x}

就不適用。
如果容易求得

F

，可以使用方法二，如

f (x) = \frac{1}{x}

。
但如果兩個特點都不滿足，那麼兩種方法都無法使用。
於是，我們引入了數值積分。
最常用的就是自適應辛普森積分。

二、辛普森公式

基本思想就是把複雜的函式 $f$ 近似成二次函式。

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} (A x^{2} + B x + C) d x

= \frac{A}{3} (b^{3} - a^{3}) + \frac{B}{2} (b^{2} - a^{2}) + C (b - a)

= \frac{2 A (b^{3} - a^{3}) + 3 B (b^{2} - a^{2}) + 6 C (b - a)}{6}

= \frac{2 A (b - a) (b^{2} + a b + a^{2}) + 3 B (b + a) (b - a) + 6 C (b - a)}{6}

= \frac{(b - a) (2 A b^{2} + 2 A a b + 2 A a^{2} + 3 B b + 3 B a + 6 C)}{6}