定義隨機變數A為一次伯努利試驗的結果，$A$的取值為[0,1]，概率分佈為$P(A)$:$P(A=1)=\theta\\P(A=0)=1-\theta$下面分別使用極大似然估計和貝葉斯估計來估計$\theta$。

1. 極大似然估計
   $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n}P(A_i) = \theta^k(1-\theta)^{n-k}$

$A_i$代表第$i$次隨機試驗

$\begin{array}{cc}{\displaystyle logL\left(\theta \right)}& {\displaystyle =l}\end{array}$

2. 貝葉斯估計
   $P(\theta |A_1,A_2,\dots,A_n)=\dfrac{P(A_1,A_2,\dots,A_n|\theta)·\pi(\theta)}{P(A_1,A_2,\dots,A_n)}$

  根據觀察到的結果修正$\theta$,也就是假設$\theta$是隨機變數，$\theta$服從$\beta$分佈，有很多可能取值，我們要取的值是在已知觀察結果的條件下使$\theta$出現概率最大的值。
$\begin{aligned} \theta&=\mathop{\arg\max} \limits_{\theta} \ P(A_1,A_2,\dots,A_n|\theta)·P(\theta) \\ &=\mathop{\arg\max} \limits_{\theta} \prod P(A_i|\theta)P(\theta)\\ &=\mathop{\arg\max} \limits_{\theta} \theta^k(1-\theta)^{n-k}\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1} \end{aligned}$

求解同上，得$\theta = \dfrac{k+(a-1)}{n+(a-1)+(b-1)}$,其中$a,b$是$\beta$分佈中的引數$\beta(\theta;a,b)=\dfrac{\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1}}{C}$,$C$為常數，選定$a,b$後就可以確定$\theta$。