題意

找出一個序列中上升子序列
例如 2 1 5 3 6 4 8 9 7
上升子序列：1 5 6 8 9 或者 1 3 4 8 9 但是子序列長度都是5

思路

有兩種想法：一是動歸，一是每次從前往後找第一大並且替換。這樣做的能得到最長序列的次數，但是無法知道最長序列是什麼。

程式碼

動歸

#include<iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int size;   //陣列長度 
int a[5001];  //原陣列
int dp[5001]; //序列長度陣列
 



int main(int argc,char *argv[])
{
    cin >> size;
    for(int i = 0;i < size;i++) {
        cin >> a[i];
        dp[i] = 1;
    }
    for(int i = 0;i < size;i++) {
        for(int j = 0;j < i+1;j++) {
            if((a[i] > a[j]) && dp[j]+1 > dp[i]) {
                dp[i] = dp[j]+1
 
;  //動歸的遞推式
            }
        }
    }
    int max = 1;
    for(int i = 0;i < size;i++) {  //找出最大值
        if(dp[i] > max) {
            max = dp[i];
        }
    }
    cout << max << endl;
    return 0;
}

O(n^2)

#include<iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std
 
::endl;

int size;   //a陣列大小
int a[5001]; //原陣列
int dp[5001]; //和子序列個數相同的陣列，但是元素不一定是子序列
int len = 0; //dp陣列長度
int flag = 0;

int main(int argc,char *argv[])
{
    cin >> size;
    for(int i = 0;i < size;i++) {
        cin >> a[i];
    }
    dp[0] = a[0];
    len++;
    for(int i = 0;i < size;i++) {
        flag = 0;
        for(int j = 0;j < len;j++) { 
            if(a[i] <= dp[j]) {
                dp[j] = a[i];
                flag = 1;
                break;
            }
        }
        if(flag == 0) {
            dp[len] = a[i];
            len++;
        }
    }
    cout << len << endl;
    return 0;
}

二分優化方法二，為O(nlog(n))

#include<iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int size;      //a陣列長度
int a[100];
int dp[100];
int len = 0;
int max = 0;   //dp陣列長度,也就是最大字串的長度。

void findFirstBig(int begin,int end,int find)  //二分查詢dp陣列中第一個比find大的元素
{
    while(begin <= end) {
        int mid = (begin+end)/2;
        if(dp[mid] == find) {
            return;
        }
        if(dp[mid] < find) begin = mid+1;
        if(dp[mid] > find) end = mid-1;
    }
    len = begin;
}

int main(int argc,char *argv[])
{
    cin >> size;
    for(int i = 0;i < size;i++) {
        cin >> a[i];
    }
    dp[0] = a[0];
    for(int i = 0;i < size;i++) {
        if(a[i] > dp[max]) {   //如果下一個元素比dp陣列中最大的還大
            max++;
            dp[max] = a[i];
        }
        else { 
            findFirstBig(0,max,a[i]);
            dp[len] = a[i];
        }
    }
    cout << max+1 << endl;
    return 0;
}