【數學】一個奇技淫巧：如果用一枚硬幣生成任意概率——比如1/π？
剛才舍友拿Matrix67部落格裡的一個問題來考我——如果用一枚硬幣產生1/π的概率，沒想出來怎麼做，看了下解答感覺非常簡單而且巧妙。
Matrix67原部落格裡的文章——26 個比較概率大小的問題，這個問題是其中第15個問題的一小部分
一枚硬幣扔出有理數概率的問題——比如23
如何用一枚硬幣扔出
這個其實還是比較容易想到的，把這枚硬幣扔兩次，以下情況出現的概率相等：
1. 正正
2. 正反
3. 反正
4. 反反
所以如果出現第4種情況則相當於取樣失敗，繼續實驗，如果在1~3種情況中出現1~2的情況則是一個
如果想要扔出無理數概率呢？
以上的方法只適合有理數概率，因為可以把有理數概率寫成分數形式，然後用分母的數字作為樣本空間，從中選出分子個數的情況，作為產生條件即可。但是如果概率本身是一個無理數，寫不成分數形式怎麼辦？
演算法：
1. 可以把
2. 那麼開始拋擲這枚硬幣，假設不停的拋擲，相當於產生了一個二進位制序列，如果在這個二進位制序列前面加一個「0.」則其表示一個0~1之間的任意小數，假設其為q
3. 所以就可以拿這個數和
如果在該產生0的位置產生了1，則說明
如果在該產生1的位置產生了0，則說明
而
一道相關的引出問題
以下部分是節選自Matrix67那部分，引出上面那個演算法的引子問題，我覺得也十分有趣，也給轉載了下來：
引子問題
扔硬幣期望擲出‘正反正反……’的序列出來，倘若拋擲硬幣沒有任何技巧，每次是正是反的概率相同，那麼無限地拋擲下去，第一次出錯更有可能出在什麼地方？
A．該擲正面的時候擲出了反面
B．該擲反面的時候擲出了正面
C．上述兩種情況的出現概率相同
這個題目的答案是 A 。下面我們證明，因為該擲反面的時候擲出了正面而掛掉的概率，也就是在第偶數次拋擲時掛掉的概率，精確地等於 1/3 。容易得出，第 2 次就掛了的概率就是前 2 次精確地擲出“正正”序列的概率，它等於 1 / 22 。類似地，到第 4 次才掛的概率就是前 4 次精確地擲出“正反正正”序列的概率，它等於 1 / 24 ；而到第 6 次才掛的概率則是前 6 次精確地擲出“正反正反正正”序列的概率，它等於 1 / 26……所以，在第偶數次掛掉的概率是：
1 / 22 + 1 / 24 + 1 / 26 + 1 / 28 + …
= 1 / 4 + 1 / 42 + 1 / 43 + 1 / 44 + …
= (1 + 1 / 4 + 1 / 42 + 1 / 43 + 1 / 44 + …) – 1
= 1 / (1 – 1 / 4) – 1
= 1 / 3
直觀解釋
這個答案有一個非常直觀的解釋。想象 A 、 B 兩人玩一個擲硬幣遊戲。兩人輪流拋擲硬幣，但 A 必須擲出正面， B 必須擲出反面，誰擲錯了誰就立即輸掉遊戲。如果 A 先拋硬幣，誰輸掉的概率更大？那當然是 A 輸掉的概率更大，因為他先擲嘛！
事實上，設 A 輸掉的概率為 p ，我們可以巧妙地求出 p 來。怎樣的情況下 A 才會輸掉呢？如果 A 第一次就擲錯了，他就直接輸了，這有 1/2 的概率。如果 A 第一次擲對了，那麼 B 必須也跟著擲對，走到這一步有 (1/2) × (1/2) = 1/4 的概率。此時，遊戲又回到了出發點， A 輸掉的概率又變回了 p 。於是，我們得到：
p = 1/2 + (1/4) · p
把它當作一個關於 p 的一元一次方程，解得 p = 2/3 。這就是我們想要的答案。
為什麼魔術師首次出錯更容易錯在把正面擲成了反面。把正面看作數字 1 ，反面看作數字 0 ，那麼觀眾要求的目標序列就變成了 101010… 。如果在前面加一個小數點，這就變成了一個 0 到 1 之間的二進位制小數 0.101010… ，它等於十進位制中的 2/3 。而魔術師拋擲的硬幣序列，則構成了一個 0 到 1 之間的隨機數。如果某一次把 0 擲成了 1 ，就說明擲出的是一個比 2/3 更大的數；如果某一次把 1 擲成了 0 ，就說明擲出的是一個比 2/3 更小的數。顯然，前者的概率是 1/3 ，後者的概率是 2/3 。
你意識到了嗎？我們相當於用一枚公正的硬幣，模擬出了一枚不公正的硬幣。如果你想要一枚硬幣，它有 2/3 的概率正面朝上，有 1/3 的概率反面朝上，但你手中只有一枚公正的硬幣，你該怎麼辦呢？你可以像剛才那樣，不斷拋擲硬幣，得出一個 0 到 1 之間的隨機二進位制小數。一旦發現這個二進位制小數小於 2/3 ，就視最終結果為“正”；一旦發現這個二進位制小數大於 2/3 ，就視最終結果為“反”。
當然，模擬這樣一枚不公正的硬幣，其實遠不需要這麼麻煩。因為2/3 是一個有理數。如果我們要模擬一枚不公正的硬幣，它有 1 / π 的概率正面朝上，有 1 – 1 / π 的概率反面朝上呢？此時，“分類討論法”就不管用了。但是，剛才的“二進位制小數法”依舊有效。不斷拋擲硬幣並記錄拋擲結果， 1 代表正面， 0 代表反面，直至某次擲出的結果與 1 / π 的二進位制小數不符。如果是 1 被擲成 0 了，則視最終結果為“正”；如果是 0 被擲成 1 了，則視最終結果為“反”。