c語言：寫一個函式，輸入n，求斐波拉契數列的第n項（5種方法，層層優化）
寫一個函式，輸入n，求斐波拉契數列的第n項。
斐波拉契數列：1,1,2,3,5,8...，當n大於等於3時，後一項為前面兩項之和。
解：方法1：從斐波拉契數列的函式定義角度程式設計
#include<stdio.h>
int fibonacci(int n)
{
int num1=1, num2=1, num3=0,i;
if (n <= 2)
{
printf("斐波拉契數列的第%d項為:%d\n",n,num1);
}
else
{
for (i = 2; i < n; i++)
{
num3 = num1 + num2;
num1 = num2;
num2 = num3;
}
printf("斐波拉契數列的第%d項為:%d\n", n, num3);
}
return 0;
}
int main()
{
int num=0;
printf("請輸入一個正整數:");
scanf("%d", &num);
fibonacci(num);
return 0;
}
結果：
請輸入一個正整數:3
斐波拉契數列的第3項為:2
請按任意鍵繼續. . .
方法2：遞迴呼叫，很明顯優化了程式碼量
#include<stdio.h>
int fibonacci(int n)
{
if (n <= 0)
{
return 0;
}
if (n == 1)
{
return 1;
}
return fibonacci(n-1)+ fibonacci(n - 2);
}
int main()
{
int num = 0,ret=0;
printf("請輸入一個正整數:");
scanf("%d", &num);
ret=fibonacci(num);
printf("斐波拉契數列的第%d項為:%d\n", num,ret);
return 0;
}
結果：
請輸入一個正整數:4
斐波拉契數列的第4項為:3
請按任意鍵繼續. . .
方法3：提高遞迴的效率，把已經求得的中間項儲存起來，就不用再重複進行計算了；其本質相當於方法一的思想
#include<stdio.h>
int fibonacci(int n)
{
int num1 = 1, num2 = 1, num3 = 0, i=0;
if (n <= 2)
{
return num1;
}
for (i = 2; i < n; i++)
{
num3 = num1 + num2;
num1 = num2;
num2 = num3;
}
return num3;
}
int main()
{
int num = 0,ret=0;
printf("請輸入一個正整數:");
scanf("%d", &num);
ret=fibonacci(num);
printf("斐波拉契數列的第%d項為:%d\n", num,ret);
return 0;
}
結果：
請輸入一個正整數:3
斐波拉契數列的第3項為:2
請按任意鍵繼續. . .
方法4：直接運用數學公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int fibonacci(int n)
{
return (pow((1+sqrt(5.0))/2,n)- pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, n))/ sqrt(5.0);
}
int main()
{
int num = 0, ret = 0;
printf("請輸入一個正整數:");
scanf("%d", &num);
ret = fibonacci(num);
printf("斐波拉契數列的第%d項為:%d\n", num, ret);
return 0;
}
結果：
請輸入一個正整數:4
斐波拉契數列的第4項為:3
請按任意鍵繼續. . .
方法5：生僻的數學公式法
f(n) f(n-1) = 1 1
[ ] [ ]^(n-1)
f(n-1) f(n-2) 1 0
該公式可用數學歸納法進行證明，在矩陣乘法的變換證明過程中，要注意運用斐波拉契數列的性質：後一項為前面兩項之和；該數學公式，應用矩陣的乘法，時間效率雖然低，但不夠實用，原始碼太過繁瑣，提供如下程式碼僅供參考
#include <cassert>
struct Matrix2By2
{
Matrix2By2
(
long long m00 = 0,
long long m01 = 0,
long long m10 = 0,
long long m11 = 0
)
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)
{
}
long long m_00;
long long m_01;
long long m_10;
long long m_11;
};
Matrix2By2 MatrixMultiply
(
const Matrix2By2& matrix1,
const Matrix2By2& matrix2
)
{
return Matrix2By2(
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if (n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if (n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if (n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
int result[2] = { 0, 1 };
if (n < 2)
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}
// ====================測試程式碼====================
void Test(int n, int expected)
{
if (Fibonacci_Solution1(n) == expected)
printf("Test for %d in solution1 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution1 failed.\n", n);
if (Fibonacci_Solution2(n) == expected)
printf("Test for %d in solution2 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution2 failed.\n", n);
if (Fibonacci_Solution3(n) == expected)
printf("Test for %d in solution3 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution3 failed.\n", n);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
Test(0, 0);
Test(1, 1);
Test(2, 1);
Test(3, 2);
Test(4, 3);
Test(5, 5);
Test(6, 8);
Test(7, 13);
Test(8, 21);
Test(9, 34);
Test(10, 55);
Test(40, 102334155);
return 0;
}