第七章 圖（最小生成樹之prime演算法和 kruskal演算法）
阿新 • • 發佈：2019-02-16
最小生成樹
所謂最小生成樹，就是在一個具有N個頂點的帶權連通圖G中，如果存在某個子圖G’，其包含了圖G中的所有頂點和一部分邊，且不形成迴路，並且子圖G’的各邊權值之和最小，則稱G’為圖G的最小生成樹。
由定義我們可得知最小生成樹的三個性質：
•最小生成樹不能有迴路。
•最小生成樹可能是一個，也可能是多個。
•最小生成樹邊的個數等於頂點的個數減一。
prime演算法
以下面的圖為例，實現prime演算法
#include<iostream> kruskal演算法
講kruskal演算法之前，先講並查集
並查集
並查集根據其名字幹兩件事：
1.把元素a所在的集合和元素b所在的集合合併為一個集合。
2.查元素a和元素b是否屬於同一個集合。
下面給出程式碼（含有解釋），該程式碼合併集合的方法是根據樹的深度，把深度小的樹（集合）合併到深度大的（集合）上，如下示例。
/*
並查集思路。
並查集演算法的思想，結合了樹的思想。
剛開始給出n個元素，這n個元素可以看成n棵樹。對於其中一個元素a，
如果另一個元素b和a屬於同一個集合，那麼我們可以把b當做a的父母，
或者把a當做b的父母（起初，每個元素的父母是他自己），如果元素c
和a,b仍然屬於同一個集合，那麼我們可以把a,b中任一個當做c的父母，
或者把c當做a或b的父母，以此類推。這樣集合用一棵樹表示了。不同
的集合表示成了不同棵樹。如果我們想把不同集合合併，我們只需要將
一個集合中任一個元素當做另一個集合的父母即可（即在兩棵樹直接添
加了一條邊，把兩棵樹連在了一起）。如果我們想查兩個元素d,e是否
屬於同一個集合，我們只需要一直遞歸向上查d,e的父母（即他們分別
所屬的樹根）（請記得起初的時候每個元素的父母是他自己，遞迴到最
後一定能查出一個值），如果他們的父母相同，則他們屬於同一個集合，
否則，不屬於同一個集合。
上面的描述中，還有一點補充，給每一個元素定個級別，剛開始每個元
素的級別是1，表明以該元素為根的樹深為1。
*/
/*
本程式例子是，包含6個結點，分別是1，2，3，4，5，6。7其中1，2，
3，7屬於一個集合，4，5屬於一個集合。6屬於一個集合
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int par[maxn]; //結點的父母
int r[maxn]; //每個結點的等級，即以該結點為根的樹的深度
//初始化n個元素，父母是他自己，等級（樹深）初始化為1
void init(int n)
{
for (int i = 1; i <=n; i++) {
par[i] = i;
r[i] = 1;
}
}
//查詢樹根
int find_root(int x) {
if (par[x] == x) {
return x;
}
else {
return find_root(par[x]);
}
}
//合併x和y所屬集合
void united(int x, int y) {
x = find_root(x);
y = find_root(y);
if (x == y) return;//屬於同一棵樹，無需進行合併
//深度淺的樹合併到深度大的樹上
if (r[x]<r[y]) {
par[x] = y;r[y]=max(r[x]+1,r[y]);
} else {
par[y] = x;r[x]=max(r[x],r[y]+1);
}
}
//判斷x和y是否屬於同一個集合
bool same_set(int x, int y) {
return find_root(x) == find_root(y);
}
int main()
{
int n,m;
cout<<"請輸入元素的總數： ";cin>>n;init(n);
cout<<"請輸入集合的總數： ";cin>>m;
cout<<"輸入每個集合中的任意兩個元素（最多情況數為該集合元素數減1）："<<endl;
//n個元素構成m個集合，最多隻需輸入n-m對元素即可完成所有關係建立
//比如1，2，3，7為一個集合，4，5為一個集合，6為一個集合，7個元素
//形成3個集合，只需要輸入1、2，1、3，4、5這三對（<=7-3）即可
int e,p;
for(int i=1;i<=n-m;i++){
cin>>e>>p;
p=find_root(p);
par[e]=p; //路徑壓縮，e的父母直接變為p的樹根
r[p]=2; //由於建立的樹只有兩層，孩子層深度為1，父母層深度為2
//這樣建立起來的樹只有兩層，一個父母，眾多個孩子
}
cout << "輸入兩個元素，把這兩個元素所在的集合合併: ";
int e1,e2;
cin>>e1>>e2;
united(e1, e2);//把e1，e2所在的兩個集合合併
cout << "輸入兩個元素，查詢是否屬於一個集合: ";
cin >> e1 >> e2;
if(same_set(e1,e2)) cout<<"same"<<endl;
else cout<<"different"<<endl;
return 0;
}
/*
本程式樣例輸入輸出:
請輸入元素的總數： 7
請輸入集合的總數： 3
輸入每個集合中的任意兩個元素（最多情況數為該集合元素數減1）：
1 2
2 3
4 5
6 6
輸入兩個元素，把這兩個元素所在的集合合併: 2 5
輸入兩個元素，查詢是否屬於一個集合: 1 4
same
*/
構造一個只含n個頂點，而邊集為空的子圖，若將該子圖中各個頂點看成是各棵樹的根節點，則它是一個含有n棵樹的森林 。之後，從網的邊集中選取一條權值最小的邊，若該邊的兩個頂點分屬不同的樹 ，則將其加入子圖，也就是這兩個頂點分別所在的 兩棵樹合成一棵樹；反之，若該邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直至森林只有一棵樹。kruskal演算法能夠在並查集的基礎很快的實現。
以下面的圖為例，實現kruskal演算法
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10000;
int par[maxn];//結點的父母，用並查集
int r[maxn];//每個結點等級（以該結點為樹根的樹深），用並查集
typedef struct{
int st;//一條邊的起始結點
int en;//一條邊的結束結點
int w;//邊權重
}edge_node;
edge_node edge[maxn/2*maxn];
//並查集演算法的初始化
void init(int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
par[i]=i;
r[i]=1;
}
}
//並查集演算法的找樹根
int find_root(int x){
if(x==par[x]) return x;
else return find_root(par[x]);
}
//並查集演算法的合併集合
void united(int x,int y){
x=find_root(x);
y=find_root(y);
if(x==y) return;
if(r[x]<r[y]) {par[x]=y;r[y]=r[x]+1;}
else{par[y]=x;r[x]=r[y]+1;}
}
bool cmp(edge_node e1,edge_node e2){
return e1.w<e2.w;
}
int kruskal(int n,edge_node edge[]){
int sum=0;
init(n);
sort(edge+1,edge+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(find_root(edge[i].st)!=(find_root(edge[i].en))){
united(edge[i].st,edge[i].en);
sum+=edge[i].w;
}
}
return sum;
}
int main(){
int n;
cout<<"請輸入邊的條數： ";cin>>n;
int x,y,w;
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<"請輸入第"<<i<<"條邊的兩個頂點及權重： "<<endl;
cin>>x>>y>>w;
edge[i].st=x;edge[i].en=y;edge[i].w=w;
}
cout<<"最小生成樹的邊權之和： ";
cout<<kruskal(n,edge)<<endl;
return 0;
}
/*
輸入輸出樣例：
請輸入邊的條數： 5
請輸入第1條邊的兩個頂點及權重：
1 2 6
請輸入第2條邊的兩個頂點及權重：
1 3 1
請輸入第3條邊的兩個頂點及權重：
2 3 5
請輸入第4條邊的兩個頂點及權重：
2 4 3
請輸入第5條邊的兩個頂點及權重：
3 4 4
最小生成樹的邊權之和： 8
*/