一、無向圖迴路的判斷

    對於無向圖，判斷其是否有迴路有四種方法，如下所示：

    1、利用深度優先搜尋DFS，在搜尋過程中判斷是否會出現後向邊（DFS中，連線頂點u到它的某一祖先頂點v的邊），即在DFS對頂點進行著色過程中，若出現所指向的頂點為黑色，則此頂點是一個已經遍歷過的頂點（祖先），出現了後向邊，若完成DFS後，則圖中有迴路；

    2、在圖的鄰接表表示中，首先統計每個頂點的度，然後重複尋找一個度為1的頂點，將度為1和0的頂點從圖中刪除，並將與該頂點相關聯的頂點的度減1，然後繼續反覆尋找度為1的，在尋找過程中若出現若干頂點的度都為2，則這些頂點組成了一個迴路；否則，圖中不存在迴路。

    3、利用BFS，在遍歷過程中，為每個節點標記一個深度deep，如果存在某個節點為v，除了其父節點u外，還存在與v相鄰的節點w使得deep[v]<=deep[w]的，那麼該圖一定存在迴路；
    4、用BFS或DFS遍歷，最後判斷對於每一個連通分量當中，如果邊數m>=節點個數n，那麼改圖一定存在迴路。因此在DFS或BFS中，我們可以統計每一個連通分量的頂點數目n和邊數m，如果m>=n則return false；直到訪問完所有的節點，return true。

二、有向圖迴路的判斷

    對於有向圖，判斷其是否有迴路的方法也有兩種，如下所示：

    1、與無向圖類似，若在DFS中出現後向邊，即存在某一頂點被第二次訪問到，則有迴路出現；

    2、同樣，利用拓撲排序的思想，通過這一步驟來執行拓撲排序，即重複尋找一個入度為0的頂點，將該頂點從圖中刪除，並將該頂點及其所有的出邊從圖中刪除（即與該點相應的頂點的入度減1），最終若途中全為入度為1的點，則這些點至少組成一個迴路。

    對於有向圖，具體點就可得到如下分析：

    問題分析：如果圖中存在迴路，則必包含一個子圖為迴路。即該子圖中所有頂點入度不為0且至少有邊指向另外的頂點。
    演算法：
    步驟1：按鄰接表方式儲存圖。遍歷與每個節點關聯的邊並統計每個節點的入度。需要O(n+m)次的運算。
    步驟2：刪除所有入度為零的頂點及其相發出的邊。並將被刪除邊所指向的頂點的入度減1。
    重複步驟2直到：
    （1）所有頂點被刪除（則沒有迴路）或；
    （2）還有頂頂點但沒有入度為零的頂點可刪除（則存在迴路）。
    演算法複雜度分析：
    由於步驟二中的刪除邊的操作運算複雜度為O(m),刪除節點的操作為O(n) 判斷節點入度是否為0需要O(n+m)次運算。其中O(n)次為初始入度為零的節點,O(m)次為刪除邊後導致的入度為零的節點。於是整個演算法複雜度為O(m+n)。