[莫比烏斯反演] HDU6053: [2017 多校-第2場] TrickGCD

阿新 • • 發佈：2019-02-17

題意

給出一個長度為n的數列A,求有多少個不同的長度為n的B數列滿足下列限制:
1≤Bi≤Ai
Foreachpair(L,R)(1≤L≤R≤n),gcd(BL,BL+1,...,BR)≥2
n,ai≤100000
有T組資料，T≤10

題解

第一次打 HDU 多校，全場抱大腿，都靠兩位學長……
先轉換一下，題目說的第二個條件顯然就等價於 gcd(B1,...,Bn)>=2.
然後可以容斥一下，就求滿足 gcd(B1,...,Bn)=1 的方案數即可。
開始推式子:

∑i1=1a1∑i2=1a2...∑in=1an[gcd(i1,...,in)=1]
∑i1=1a1∑i2

=1a2...∑in=1an∑d|gcd(..)μ(k)
∑d=1min(a)∑d|i1a1∑d|i2a2...∑d|inanμ(d)
∑d=1min(a)μ(d)∏i=1n⌊aid⌋
然後如果按照傳統方法列舉除法分塊搞， ∏ni=1⌊aid⌋ 有 nn√ 段。這樣是 O(n2n√∗T) 的，會 T 掉。
怎麼做呢？可以換個思路，對於每次算 ∏，我們列舉 ⌊aid⌋ 的值，然後統計每個值有幾個，快速冪即可。
具體來說：
∑d=1min(a)μ(d)∏t=1max(a)/dtx,(

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