擴充套件歐幾里德演算法：

已知兩個不完全為 0 的非負整數 a，b，必然存在整數對 x，y ，使它們滿足貝祖等式：

解一定存在，根據數論中的相關定理。下面給出程式碼：

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    int gcd = a;
    if (b != 0) {
        gcd = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else {
        x = 1; y = 0;
    }
    return gcd;
}

解二元一次不定方程(ax + by = c)：

擴充套件歐幾里德演算法很大的一個用處就是在解不定方程。在計算時一般先是求出一對特解，再根據x與y的變化比例，構造通解。

注意我們求的所有解，都是整數解。

我們先計算   的解，等式兩邊同時乘以

 原式子就被構造成

所以就求出了不定方程的一對特解

這裡不存在  不是整數的情況，因為當  時，方程不存在整數解，不在考慮範圍內。

證明：

若 ，則  非整數

求一組特解程式碼：

bool Indefinite_equation(int a, int b, int n, int& x, int& y) {    //求一組特解
    int gcd = extgcd(a, b, x, y);       
    if (n % gcd) return false;
    int k = n / gcd;
    x *= k;
    y *= k;
    return true;
}
 

現在我們來考慮構造通解( 特解是X、Y )：

由於已經滿足  , 兩個未知數的關係類似於加權和固定，若一個增大，則另一個一定按比例減小，顯然滿足關係：

X 每變化 b 的整數倍，Y 就反向變化 a 的同等倍數。似乎構造出了通解表示式  、 。

但是我們會發現一個問題，就是 a 、b 不一定是最小的步長，可能會 “跳過” 許多解。

為了求得最小步長，我們應該對 a 、b 同時除以某個整數，使得商也是整數，就求出了每次最小的變化量。很明顯，應除以

所以，通解應該是

求特殊的解：

最大/最小解

很多情況下，我們需要求的是 x 或 y 的最小正整數解。這裡以 x 的最小解為例：

有一種方案是在求出特解的基礎上，進行一個迴圈

• 當特解大於零時：   ，x每次減 
• 當特解不大於零時：  ，x每次加 

但是這個方法存在效率問題，因為  可能遠小於 x , 達到退出迴圈條件需要花很長時間。這裡我採用的是取模的方法

• 當特解大於零時：   便是小正整數解
• 當特解不大於零時：  便是小正整數解

x 與 y 最接近的解

以求 x < y時 , x 與 y 最接近的解為例。通過 y - x 的值來考慮。設 x , y 的步長分別是 dx , dy ，則 y - x 的最短步長為 dx + dy。

• 當特解 X < Y 時，  便是通解中 n 的值
• 當特解 X > Y 時,    便是通解中 n 的值。但若  時，不需要減 1 

附上程式碼：

//求 x < y 時，x, y 最接近的解
bool Indefinite_equation(int a, int b, int n, ll& x, ll& y) {      
    int gcd = extgcd(a, b, x, y);
    if (n % gcd) return false;                         //無整數解
    int k = n / gcd, dx = b / gcd, dy = a / gcd;       //dx,dy分別為對應的最小變化值
    x *= k;
    y *= k;                                            //此為某特解
    ll cnt = (y - x) / (dx + dy);
    if (cnt < 0 && (y - x) % (dx + dy)) cnt --;        //處理x>y的情況
    x += dx * cnt;
    y -= dy * cnt;
    return true;
}