【凸優化】保留凸性的幾個方式（交集、仿射變換、投影、線性分式變換）

阿新 • • 發佈：2019-02-17

1. 交集

幾個凸集的交集仍然是凸的

2. 仿射變換

3. 投影（perspective function）

一個投影函式 (perspective function) 的定義是：

P (x, t) = x / t dom P = {(x, t) ∣ t > 0}

投影函式將原函式降了一維，它的作用是得到原函式在該維度的倒影。舉例：若 $x_{3} > 0$

[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} x_{1} / x_{3} \\ x_{2} / x_{3} \end{matrix}]

其中， dom 表示定義域

一個凸集經投影函式變換後凹凸性不變。

4.線性分式變換（linear fractional transformation）

假設一個仿射函式為：

g (x) = [\begin{matrix} A \\ C^{T} \end{matrix}] x + [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}]

它的投影函式：

f = \frac{A x + b}{c^{T} x + d} dom {x ∣ C^{T} x + d > 0}

就是函式 $g$ 的線性分式變換，顯然凹凸性不變。

【凸優化】保留凸性的幾個方式（交集、仿射變換、投影、線性分式變換）

1. 交集幾個凸集的交集仍然是凸的 2. 仿射變換 3. 投影（perspective function）一個投影函式 (perspective function) 的定義是： P(x,t)=x/tdomP={(x,t)∣t>0}

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