【吳恩達機器學習】邏輯迴歸的損失函式偏導

阿新 • • 發佈：2019-02-17

1) 邏輯迴歸（Logistic Regression, Logistic Function, Sigmoid Function）的損失函式為：

J (θ) = - \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} [y^{(i)} l o g h_{θ} (x^{(i)}) + (1 - y^{(i)}) l o g (1 - h_{θ} (x^{(i)}))]

其中

h_{θ} (x^{(i)}) = \frac{1}{1 + e x p (- θ^{T} x^{(i)})}

，

θ^{T} x^{(i)} = θ_{0} x_{0} + θ_{1} x_{1} + θ_{2} x_{2} + . . .

2) 對其中一個引數，比如 $θ_{1}$

對其求偏導：

\frac{\partial J (θ)}{\partial θ_{1}} = - \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} [\frac{y^{(i)}}{h_{θ} (x^{(i)}) l n e} \frac{\partial h_{θ} (x^{(i)})}{\partial θ_{1}} + \frac{(1 - y^{(i)})}{(1 - h_{θ} (x^{(i)})) l n e} \frac{- \partial h_{θ} (x^{(i)})}{\partial θ_{1}}]

3) 提取公因式 $\frac{\partial h_{θ} (x^{(i)})}{\partial θ_{1}}$ ：

= - \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} [\frac{\partial h_{θ} (x^{(i)})}{\partial θ_{1}} (\frac{y^{(i)}}{h_{θ} (x^{(i)})} + \frac{(1 - y^{(i)})}{(1 - h_{θ} (x^{(i)}))})]

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