1.化簡：

5.已知都是正整數，那麼的最大值等於？
解答：
由p | q-1， 可知（p, q）=1；
由p | q-1, q | 3p-1 => p | 3p+q-1， q | 3p-1+q，即：p，q均為3p+q-1的約數，且p，q互素；
從而有：3p+q-1 = kpq（k為正整數）；
即：k=3/q + 1/p - 1/pq <=3，k=1，2，3
(1)k=1的情形：
3p+q-1=pq
-> 3p-1=q(p-1)
->p-1 | 3p-1=3(p-1)+2
->p-1 | 2
-> p=3,2對應的有q=4,5
(2)k=2的情形：
3p+q-1=2pq
->q-1=p(2q-3)>=2q-3
->q<=2
->q=1,2對應的有p=0,1
(3)k=3的情形
3p+q-1=3pq
->q-1=p(3q-3)>=3q-3
->q<=1
->q=1與題設不符
故有三解(p,q)=(3，4），（2，5），（1，2）

9.已知，，求的值。

解答：
———-（1）

另一方面：

帶入（1）式可得到：

從而有a+b+c=0,1,-1;
很容易驗證a+b+c確實可以取到0，1，-1三個值。比如：a+b+c=0的情形，可以設a=b=-c/2，易得，其他兩種情況類似。

11.求證：任意的 5 個整數中, 必定有兩個整數的平方差是 7 的倍數．
解答：
任意a，b有：

待續…