【筆記】從遞推式得到通項公式的幾種方法

開頭瞎扯

數列這玩意在競賽中考的不少，可以變形一些式子，所以做一個小總結

如果題目中出現了一個數列的式子，將其化為通項公式有可能可以快速求解或者是便於題目變形並發現題目性質

解題套路

對於大部分情況來說可以將題目中給定的式子化為以下5種形式，再套用模板解題：

$a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$
$a_{n + 1} = f (n) \cdot a_{n}$
$a_{n + 1} = A a_{n} + B$
$a_{n + 1} = A a_{n} + B a_{n - 1}$
$a_{n + 1} = \frac{A a_{n} + B}{C a_{n} + D}$

下面將給出解這五種模板的解題套路（跳過特徵方程部分）

（這樣以後做同類型的題目主要難度就在於如何轉換成這5中模型了，後面給出轉換的幾種常用套路）

特徵方程

特徵方程蒟蒻也不是很懂，只懂得一個做題套路（常規全是套路），對於式子 $a_{n + 1} = A a_{n} + B a_{n - 1}$

設 $a_{n} = q^{n}$

則原式等價於 $q^{n + 1} = A q^{n} + B q^{n - 1} \Leftrightarrow q^{2} - A q - B = 0$ （ $\leftarrow$ 貌似這個式子叫這個數列的特徵方程）

解出該方程解 $x_{1}, x_{2}$

如果有兩個不同解，得到兩個符合遞推式的式子： $a_{n} = x_{1}^{n}$ 與 $a_{n} = x_{2}^{n}$

考慮滿足題意給定兩項的式子形式一定為 $a_{n} = T x_{1}^{n} + λ x_{2}^{n}$ ，代入資料得 $T$ 與 $λ$ 即可

如果僅存在一個解，可以代入式子 $a_{n + 1} + λ = λ (a_{n} + λ)$

a_{n + 1} + λ = λ (a_{n} + λ)

求解

五種模板的解法

1 ： $a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$

$a_{n} = a_{1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} f (i)$

後面的視情況求解

得解

2 ： $a_{n + 1} = f (n) \cdot a_{n}$

$a_{n} = a_{1} \prod_{i = 1}^{n - 1} f (i)$

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