NIM遊戲類似

1. 一共有N堆石子，編號1..n，第i堆中有個a[i]個石子。每一次操作Alice和Bob可以從任意一堆石子中取出任意數量的石子，至少取一顆，至多取出這一堆剩下的所有石子。兩個人輪流行動，取走最後一個的人勝利。Alice為先手。
2. 招行的那道題:有A,B,C 三間。裡面分別有一定數量的面試官。小張和小玲兩個HR，每一次可以從任意一個房間中派出任意數量的面試官，至少派1個，至多派出這一房間剩下的所有**。兩個人輪流行動，如果最後沒人，就需要自己出差。請設計函式，選擇最優策略，如果小玲不出差，輸出第一步結果，否則輸出1。

觀察黑色字型加粗的部分不難發現，兩者之間存在著大量的相似性表達。在知乎上進行搜尋後查到，該問題被稱為：NIM

1.NIM遊戲概念

贏得尼姆遊戲利用類似列舉的方式，向我們展示了在各類操作下，如何才能找出必勝策略。
趣味數學知乎上的問題相對詳細闡述了這個問題。
因此，上述問題抽象可得：

若P：表示當前局面下先手必敗
N：表示當前局面下先手必勝

N，P狀態的轉移滿足如下性質：
1. 合法操作集合為空的局面為P;
2. 可以移動到P的局面為N，這個很好理解，只要能轉換到P局面，那麼先手只需要使操作後變成P局面，那麼後手就面臨了一個必敗的狀態。
3. 所有移動只能到達N的局面為P。無論怎麼選取都會留給對手一個必勝狀態。
三大定理：
1. 遊戲結束時，所有的數都是0，異或結果為0
2. 任何一個“異或結果為0的局面”，經過一次操作，必然異或結果不是0。
3. 任何一個“異或結果[不]為0的局面”，經過一次操作必然可以讓它變為0。(非常重要！)

第一個命題顯然，最終局面只有一個，就是全0，異或仍然是0。
第二個命題，對於某個局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an!=0(不等號就用C++的習慣用!=來表示了)，一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai’後滿足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨設a1^a2^…^an=k，則一定存在某個ai，它的二進位制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎麼得到的）。這時aik<ai$a{i}^k<ai$一定成立。則我們可以將ai改變成ai’=ai^k，此時a1^a2^…^ai’^…^an=a1^a2^…^an^k=0。
第三個命題，對於某個局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an=0，一定不存在某個合法的移動，將ai改變成ai’後滿足a1^a2^…^ai’^…^an=0。因為異或運算滿足消去率，由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai’^…^an可以得到ai=ai’。所以將ai改變成ai’不是一個合法的移動。證畢。