問題描述
　　假設我們有8種不同面值的硬幣｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用這些硬幣組合夠成一個給定的數值n。例如n=200，那麼一種可能的組合方式為 200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 問總過有多少種可能的組合方式？ (這道題目來自著名程式設計網站ProjectEuler, 點選這裡檢視原題目) 類似的題目還有：

　　[華為面試題] 1分2分5分的硬幣三種，組合成1角，共有多少種組合？

　　[創新工廠筆試題] 有1分，2分，5分，10分四種硬幣，每種硬幣數量無限，給定n分錢，有多少中組合可以組成n分錢？

問題分析

　　給定一個數值sum，假設我們有m種不同型別的硬幣{V1, V2, …, Vm}，如果要組合成sum，那麼我們有

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + xm * Vm

求所有可能的組合數，就是求滿足前面等值的係數{x1, x2, …, xm}的所有可能個數。

　　[思路1] 當然我們可以採用暴力列舉，各個係數可能的取值無非是x1 = {0, 1, …, sum / V1}, x2 = {0, 1, …, sum/ V2}等等。這對於硬幣種類數較小的題目還是可以應付的，比如華為和創新工廠的題目，但是複雜度也很高O（sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * …）

　　[思路2] 從上面的分析中我們也可以這麼考慮，我們希望用m種硬幣構成sum，根據最後一個硬幣Vm的係數的取值為無非有這麼幾種情況，xm分別取｛0, 1, 2, …, sum/Vm｝，換句話說，上面分析中的等式和下面的幾個等式的聯合是等價的。

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 0 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 1 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 2 * Vm

…

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + K * Vm

　　其中K是該xm能取的最大數值K = sum / Vm。可是這又有什麼用呢？不要急，我們先進行如下變數的定義：

dp[i][sum] = 用前i種硬幣構成sum 的所有組合數。

　　那麼題目的問題實際上就是求dp[m][sum]，即用前m種硬幣（所有硬幣）構成sum的所有組合數。在上面的聯合等式中：當xn=0時，有多少種組合呢？ 實際上就是前i-1種硬幣組合sum，有dp[i-1][sum]種！ xn = 1 時呢，有多少種組合？ 實際上是用前i-1種硬幣組合成(sum - Vm)的組合數，有dp[i-1][sum -Vm]種; xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]種，等等。所有的這些情況加起來就是我們的dp[i][sum]。所以：

dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]

• dp[i-1][sum - 2*Vm] + … + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

  　　換一種更抽象的數學描述就是：

  　　通過此公式，我們可以看到問題被一步步縮小，那麼初始情況是什麼呢？如果sum=0，那麼無論有前多少種來組合0，只有一種可能，就是各個係數都等於0；

dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, … , m

　　如果我們用二位陣列表示dp[i][sum], 我們發現第i行的值全部依賴與i-1行的值，所以我們可以逐行求解該陣列。如果前0種硬幣要組成sum，我們規定為dp[0][sum] = 0.