問題

給定n個物品和一揹包，物品i的重量是wi，其價值是vi，揹包的容量是m，問如何選擇裝入揹包中的物品總價值最大？

解答思路

a) 把揹包問題抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選，類似指示器隨機變數），Vi表示第 i 個物品的價值，Wi表示第 i 個物品的體積（重量）；
b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；
c) 約束條件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；
d) 定義V(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個物品最佳組合對應的價值；
e) 最優子結構是動態規劃的基礎，是指“一個問題的最優解包含其子問題的最優解”。判斷該問題是否滿足最優子結構，採用反證法證明：
假設(X1，X2，…，Xn)是01揹包問題的最優解，則有(X2，X3，…，Xn)是其子問題的最優解；
假設(Y2，Y3，…，Yn)是上述問題的子問題最優解，則理應有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；
而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，則有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；
該式子說明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是該01揹包問題的最優解，這與最開始的假設(X1，X2，…，Xn)是01揹包問題的最優解相矛盾，故01揹包問題具有最優子結構。
物品的加入順序不對解答造成影響。

f) 尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：
第一，當前揹包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
第二，還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的一個，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-wi)+vi｝
其中V(i-1,j)表示不裝，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)但價值增加了v(i)，同時剩餘的物品應該是前i-1個物品；
由此可以得出遞推關係式：
1)j<w(i)V(i,j)=V(i−1,

舉例

輸入：

揹包承重：5

遞推矩陣

列是前i個物品；行是j，當前揹包容量。

def boolKnapsack(weight, value, capacity):
    if len(weight) != len(value):
        return 'Some items do not have weight or value!'
    resMatrix = [[0 for i in range(len(weight) + 1)] for j in range(capacity + 1)]
    for i in range(1, capacity + 1):
    #注意這裡i、j是行列號，j指示第幾個物品，i說名當前揹包容量
        for j in range(1, len(weight) + 1):
            if i < weight[j - 1]:
                resMatrix[i][j] = resMatrix[i][j - 1]
            else:
                resMatrix[i][j] = max(resMatrix[i][j - 1], resMatrix[i - weight[j - 1]][j -1] + value[j - 1])
    return resMatrix[capacity][len(weight)]