多目標優化問題中常見分解方法的理解
作為剛上研一提前來給老師當苦力的小菜鳥，第一次學習MOEAD演算法的時候，對其中介紹的分解方法一臉懵*，上網查了不少資料，很難查到詳細的解釋（好吧，可能我查的姿勢不對），完全不理解這些分割方法所給出的表示式的意義，索性擱置了小半個月。
Weighted Sum Approach
該方法給出的表示式為：
首先，λ被稱之為權重向量，觀察和式，這完全就是m維向量的點乘公式嘛。具體的說，在目標空間中，把演算法求出的一個目標點和原點相連構造成一個向量，此時，該方法的做法是將該向量與對應權重向量點乘，由向量點乘的幾何意義可知，所得的數為該向量在權重向量方向上的投影長度，因為權重向量不變，最大/
上圖中：考慮紅色權重向量，因為是最小化問題，所以減小長度，增大夾角都是可行的方案，綠色為等高線，垂直於權重向量。
TchebycheffApproach
該方法給出的表示式為：
注意該方法中不再含有Σ符號，故不能再從向量點乘的角度理解。該方法大致思想是減少最大差距從而將個體逼近PF。等高線示意圖如下：
首先解釋等高線為什麼是這樣的。單看f1函式，即只考慮縱座標，若兩點等值，必然是
那麼，圖中的等高線是橫豎相交且剛好交在權重向量的方向上的，這是巧合嗎？可以稍微來證明一下，可知，對於任何一個可行的切比雪夫值（自己叫的），我們從f1的角度上可以得到一個f1的值y，從f2的角度上可以得到一個f2的值x，他們的切比雪夫值是相等的，自然想到，點(x,y)（圖中紫色點）為該切比雪夫值得橫縱兩條等值線的交點，那麼有：λ1*(y-z1)= λ2*(x-z2)，化簡的(y-z1)/(x-z2)= λ2/λ1，可知該交點位於權重向量的方向上。
需要注意一點，這裡的權重向量起點是Z*，不再是原點。
此時可知，若某個個體位於其權重向量方向的上部，則max得到的一定是其f1部分，故優化也需要減小其f1的值，即個體向下移動，相反，若在權重向量方向的下部，則應像左移動。以此來保證個體目標值落在黃點附近。
Boundary IntersectionApproach
該方法給出的表示式為：
式中個引數含義如下圖所示：
式子中等式約束其目的是為了保證F(x)位於權重向量λ的方向上，通過減小d來使演算法求出的解逼近PF。但該條件不太容易實現，故將其改進為下邊這種方法。
penalty-basedboundary intersection approach
改進後的式子為：
各個引數的含義如下圖：
可知演算法放寬了對演算法求出的解得要求，但加入了一個懲罰措施，說白了，就是你可以不把解生成在權重向量的方向上，但如果不在權重向量方向上，你就必須要接收懲罰，你距離權重向量越遠，受的懲罰越厲害，以此來約束演算法向權重向量的方向生成解。
接下來是關於d1和d2兩個引數的計算表示式的含義說明，我依然是從幾何角度理解的。
d1——觀察d1的計算表示式，Z*-F(x)可以看做原點到Z*點的向量減去原點到F(x)的向量，得到的是從F(x)出發指向Z*的一個向量，暫且命名為μ，之後μ與λ相乘得到μ在λ方向上的投影，這個長度值與λ的長度值之比為d1。
d2——其表示式的含義其實也無非就是利用向量運算構造出d2所表示的向量，取模即可得到d2.構造過程如下：
Z*表紅色向量，d1*λ表藍色向量（因為減法，所以方向取反），紅色減藍色得紫色向量，F(x)表綠色向量，綠色減紫色得黃色向量，即d2表黃色向量的長度。
這些都是自己一些粗淺的理解，如果有錯誤或者有更好地理解的話希望能告訴我，大家一起進步嘛~~~