線性代數的本質（筆記一）
寫在前面
本課程主要通過幾何來了解線性代數
1. 向量
對於向量有三種觀點：
- 物理學
具有大小和方向 - 計算機
陣列，列表 - 數學
概括前面兩者，只要保證向量的加法和數乘有意義即可。
本課程由於是通過幾何來了解，所以會通過座標軸來表現向量，需要想象向量是空間中的箭頭， 進一步就是向量是有序的數列 。
線性代數即圍繞向量的加法和數乘展開。
1.1 加法
1.2 數乘
2.線性組合、張成的空間和基
2.1 基向量
在一個座標系裡，不用侷限於這種x軸和y軸的基向量，也可以選擇不同方向的基向量 ，但也意味著在相同座標裡，它們所表現出來的向量是不等價的。
2.2 線性組合
2.2.1 如何理解“線性”這個詞？
2.3 張成的空間
以兩個向量為例：
像在大部分的二維裡，向量張成的空間是一個二維平面；
如果向量在同一條直線上，那麼它們張成的空間也就是一條線。
2.4 線性相關
當一個向量的變化並不會影響其它向量張成的空間改變，即稱為線性相關。（應該就是這個向量的變化一直出現在其它向量張成的空間裡。）
當一個向量的變化會改變其它向量張成的空間，即稱為線性無關。（這個向量的變化沒有在其它向量張成的空間裡。）
2.5 基的嚴格定義
3. 矩陣與線性變換
3.1 線性變換
就是一個向量通過變換
這裡變換跟函式是一個意思，用變換這個詞能讓我們從運動的角度來分析。
滿足兩個條件即可認為是線性變換：
3.2 如何用數值描述線性變換？
只需要記住兩個基向量變換後的位置即可，其它向量都會隨之移動。
也就是說，假定在原來的座標（基向量為(1,0)和(0,1)）裡有一個向量(x , y)，我們想知道它通過線性變換後，是會出現在什麼位置？
那麼就可以通過先知道變換後的基向量的位置（基向量變為(a,c)和(b,d)），再將基向量跟這個向量進行線性組合即可。
這種操作可以稱為矩陣向量乘法
4. 矩陣乘法與線性變換複合
多次變換（假設先旋轉再剪下）後的矩陣其實也就是一個複合的矩陣。
可以看到這裡的變換函式是從右往左新增，是因為函式的記號（記得我們在上面說變換即函式）：
普適性地來看複合矩陣的計算：
把 左邊矩陣 看作是 右邊矩陣 變換後的 基向量。
這裡不滿足乘法交換律。
即先旋轉再剪下 跟 先剪下再旋轉 得到的效果是不一樣的。
M1M2 ≠ M2M1
（這裡有個地方是我一開始想不明白，就是我一開始對這個變換想成了是通過改變基向量來實現變換，但其實不對，基向量的改變是變換後的結果，而不是變換的原因。所以在用幾何考慮變換的時候，不應該去改變基向量，而要考慮的是整個座標的變換後，才去看基向量的改變結果）
符合乘法結合律。
(AB)C = ABC